Биномиальное распределение.
Пример. Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попасть при одном выстреле равна 0,1.
Решение. СВ Х может принимать 5 различных значений:0,1,2,3,4.Соответствующие вероятности найдем по формуле Бернулли при n=4;р=0,1;q=1-0,1=0,9 и к=0.1,1,2,3,4:
Р4(0)=0,94=0,6561; Р4(1)=4·0,1·0,93=0,2916;
Р4(2)=6·0,12·0,92=0,0486; Р4(3)=4·0,13·0,9=0,0036;
Р4(4)=0,14=0,0001.
Закон распределения имеет вид:
Число попаданий |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Вероятность |
0.6561 |
0,2916 |
0.0486 |
0.0036 |
0,0001 |
Можно обобщить результат примера и получить закон распределения числа наступлений события А в независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с постоянной вероятностью p и не наступает с вероятностью q=1-p.
Число наступлений события А-дискретная СВ., которая может принимать значения 0,1,2,…,n с вероятностями, определяемыми по закону Бернулли:
P(x=k)=Cnk
pk
qn-k
(k=
)
Это и есть ее закон распределения, который называется биномиальным. Правую часть равенства можно рассматривать бинома Ньютона:
(р+q)n=Сn pn+Cnn-1pn-1 q+…+ Cn0 qn
Независимость случайных величин.
Дискретные СВ Х и Y называются независимыми, если при любых i и j события Х=хi и
Y=уj
(i=
;
j=
)
независимы.
Пример: независимыми являются СВ Х1 и Х2,выражающие размер выигрыша на приобретенные два билета(соответственно на первый и второй)денежно-вещевой лотереи различных выпусков. Если на первый билет выпал выигрыш, т.е. Х1 приняла некоторое значение, то закон распределения Х2 не изменится. Если же Х1 и Х2 означают выигрыш на два купленных билета лотереи одного и того же выпуска, то Х1 и Х2 являются зависимыми СВ.
Пусть имеются две СВ: Х может принимать значенияx xi с вероятностями pi (i= ), Y-значения уj с вероятностями pj( j= ).Рассмотрим событие Сij ,являющиеся произведением двух событий: Х=хi и Y=уj. Вероятность этого события:
pij = P(X=xi;Y=уj)
Рассмотрим условную вероятность события Y=уj относительно события Х=xi:
P(Y=yj
/ X=xi
) =
Совокупность вероятностей Р (Y=yj /X=xi) при всех j= и значений СВ Y составляет ее условный закон распределения в предположении, что СВ Х приняла значение xi.Из последней формулы следует, что
рij=P (X=xi;Y=yj)=p(X=xi)·P(Y=yj /X=xi)
Обозначим через А событие Х=xi. Его вероятность можно представить в виде
P(A)=P(X=xi)=pi=
=pi1+pi2+...+pin,
поскольку правую часть можно записать
так:
P(X=xi; Y=y1) + P(X=xi; Y=y2) +...+P(X=xi; Y=yn)
События в скобках несовместны, поэтому последняя сумма выражает вероятность события В, состоящего в том, что произойдет какое-либо одно из n событий (X=xi; Y=yj), j= .
Покажем, что события А и В эквивалентны. Пусть имело место событие А.Поскольку СВ Y обязательно примет одно из своих возможных значений, то произойдет одно из событий (X=xi;Y=yj), j= ,т.е. наступит событие В. Пусть произойдет событие В, т.е. имеет место одно из событий (X=xi;Y=yj), j= , следовательно, произошло и событие X=xi, т.е. А. Из эквивалентности А и В следует равенство их вероятностей и справедливость последнего равенства.
Аналогично можно доказать, что
=
Если СВ Х и Y независимы, то для вероятности события Сij (i= ; j= )имеет место соотношение:
=
