Формула Пуассона.
Если
вероятность p
наступления события в отдельном
испытании близка к нулю, то даже при
большом n
, но малом значении np
получаемые по формуле Лапласа значения
оказываются недостаточно точными и
возникает потребность в другой
приближенной формуле для таких случаев.
Теорема.
Если вероятность p
наступления события А
в каждом испытании постоянна, но мала,
число независимых испытаний
n
достаточно велико, а произведение
остается небольшим, то вероятность
находится по формуле:
Эта формула Пуассона. Для упрощения расчетов, связанных с ее применением, составлена таблица значений функции Пуассона
Пример. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.
Решение.
Применим формулу Пуассона. По таблице
По формуле Лапласа
Точное значение, найденное по формуле Бернулли, составляет
Таким
образом, относительная погрешность
вычисления вероятности
по формуле Пуассона 0,7%, а по формуле
Лапласа – 13,6% ■
Лекция 5 План лекции
1.Случайная дискретная величина
2.Случайная непрерывная величина
3. Закон распределения
4. Биномиальное распределение
5. Независимость случайных величин
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств.
Эти величины обозначаются последними прописными буквами латинского алфавита Х,Y,Z и т.д. а их значения – соответствующими строчными буквами.
Случайные величины (СВ) делятся на дискретные и непрерывные. Д искретная – если множество ее значений конечно или счетно, например, число родившихся детей в течение в населенном пункте, число пассажиров автобуса и т.д. Счетное множество бесконечно, например, число выстрелов до первого попадания. Здесь наблюдается взаимно однозначное соответствие между значениями случайной величины и натуральным рядом.
Пусть
дискретная СВ
Х
может
принимать n
значений:
.
Будем считать, что они все различны –
в противном случае одинаковые должны
быть объединены – и расположены в
возрастающем порядке. Для полной
характеристике дискретной СВ
должна быть заданы или определены не
только все ее значения, но и вероятности
, с которыми СВ
принимает каждое из них, т.е.
Функция
,
связывающая значения СВ
с соответствующими им вероятностями,
называется законом
распределения
дискретной СВ.
Его удобно задавать в следующем виде.
Значение |
|
|
… |
|
Вероятность |
|
|
… |
|
называемом рядом распределения дискретной СВ.
События
являются несовместными и единственно
возможными, т.е. они образуют полную
группу. Поэтому сумма их вероятностей
равна единице:
Пример. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрывается вещи стоимостью по 10 рублей и одна за 30 рублей. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для студента, который приобрел 1 билет стоимостью 1 рубль; всего продано 50 билетов.
Решение. СВ Х может принимать 3 значения – 1 рубль, если нет выигрыша (47 случаев из 50); 9 рубль., если выигрыш 10 рублей (2 случая из 50); 29 рублей., если выигрыш 30 рублей. (1 случай из 50).
Сумма выигрыша |
-1 |
9 |
29 |
Вероятность |
0,94 |
0,04 |
0,02 |
■