Повторение независимых испытаний Формула Бернулли.

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называется независимыми относительно событию А.

Будем считать, что вероятность события А в каждом испытании постоянна и равна р. Тогда вероятность не наступления события А в каждом испытании равна q = 1-р

Вычислим вероятность того, что при п испытаниях событие А осуществится ровно К раз и не осуществится (п-к) раз. Последовательность появлений события А может быть произвольной. Например, появление события А 3 раза в 4-х испытаниях возможно в таких сложных событиях:

,

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит к раз и не наступит (п-к) раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по к , т.е. . Эти сложные события несовместны, поэтому искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Вероятности этих сложных событий одинаковы, поэтому:

Это формула Бернулли.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Найти вероятность того, что в течение 4 суток из ближайших 6 суток не превысит нормы.

Решение

■

Пример. Пусть всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет 5?

Решение. Вероятность всхожести отдельного семени

■

Локальная теорема Лапласа.

При больших п пользоваться формулой Бернулли трудно, т.к. нужно оперировать очень большими числами. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события равно к раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рп (к) приближенно равна значению функции:

при

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительными значениями х; для отрицательных х:

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании постоянна и равна 0,2.

Решение. p=0,2; q=0,8;

по таблице находим

■

Интегральная теорема Лапласа.

Теорема. Если вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях не меньше а и не больше в раз, приближенно равна:

где

- функция Лапласа, для значений который составлены таблицы. Иногда функцией Лапласа называют выражение:

значение которой равно половине предыдущего выражения.

Пример. При установившемся технологическом процессе фабрика выпускает в среднем 70% продукции 1-го сорта. Чему равна вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760?

Решение. п = 1000 – число независимых испытаний;

p=0,7; q=0,3; a=652; b=760

■

Свойства функции :

1.Она является чeтной, т.е.

2.Она монотонно убывает при , а ее предел при равен нулю.

3. При . Поэтому таблица не продолжена при .

Свойства функции

1.Функция нечетная, т.е.

2.Функция монотонно возрастающая, причем при ; практически можно считать, что уже при х > 4