Лекция 4

План лекции

1. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

2. Формула Бернулли

3. Локальная теорема Лапласа

4. Интегральная теорема Лапласа

5. Формула Пуассона

Теорема. Пусть события А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_п, т.е.

где Ø при , тогда имеет место формула полной вероятности:

Пример. Электролампы изготавливаются на 3 заводах. 1-й завод производит 45% всех ламп; 2-й завод 40%, з-й – 15%. Продукция 1-го завода содержит 70% стандартных ламп, 2-го – 80%, 3-го – 81%. В магазины поступает продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

Решение. Обозначим события: В₁ – лампа изготовлена на 1-м заводе; В₂ – на 2-м заводе; В₃- на 3-м заводе; А – лампа оказалась стандартной. Из условия задачи следует:

Так как то

■

Пример. В 1-й коробке содержится 20 радиоламп, из н их 17 стандартных, во 2 – й коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из 2-й коробки наудачу извлечена лампа и переложена в 1-ю. Найти вероятность того, что лампа, наудачу взятая из 1-й коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим события: А – из 1-й коробки извлечена стандартная лампа; – из 2-й коробки в 1-ю переложена стандартная лампа; – из 2-й коробки в 1-ю переложена нестандартная лампа.

При этом

По формуле полной вероятности имеем:

■

События называют гипотезами, поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит. Тогда в условиях предыдущей теоремы имеют формулы Байеса:

Они позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания. В котором появилось событие А.

Пример. Детали проверяются одним из двух контролеров. Вероятность попадания детали к первому контролеру – 0,6, ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0, 94 , а вторым – 0,98. При проверке годная деталь признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим события А – годная деталь признана стандартной, – деталь проверена первым контролером, – деталь проверена вторым контролером.

По формуле Байеса имеем:

До испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (теперь уже условная) изменилась и стала равной 0,59 ■

Пример. Имеется 12 урн, из них в 6 урнах составила , по 3 белых и 4 черных шара, в 3 урнах состава по 2 белых и 8 черных шаров, в 2 урнах состава по 6 белых и 1 черному шару, в 1 урне состава 4 белых и 3 черных шара. Из наугад выбранной урны взят шар. Чему равна вероятность того, что шар взят из урны состава , если он оказался белым?

Решение. Обозначим событие А – взятый шар оказался белым. Согласно условию,

По формуле Байеса находим искомую вероятность:

■