Геометрические вероятности

Геометрические вероятности вводят для преодоления неприменимости классического определения вероятности к испытания с бесконечным числом исходов.

Геометрическая вероятность соответствует вероятности попадания точки в области – отрезок, часть плоскости и т.д.

Пусть отрезок ℓ составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена точка. При этом точка может оказаться в любом месте отрезка L, и вероятность попадания точки на отрезок ℓ пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Тогда вероятность попадания точки на отрезке ℓ определяется равенством

Пример. На отрезке ОА длины L числовой оси ОХ наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую L/3. Вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и Д на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попадает на отрезок СД длины L/3 . Искомая вероятность

П усть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G . На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает, что брошенная точка может оказаться в любом месте G , и вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g . Тогда вероятность попадания точки в фигуру g равна.

Пример. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет другого ¼ часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает время своего прихода между 12 и 13 часами.

Решение. Обозначим время прихода 1-го студента через x,

второго – через y. Встреча должна состояться между 12 и 13 часами, для простоты считаем, что между 0 и 1 часами, т.е.

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

В прямоугольной системе координат это квадрат.

Рассмотрим его как фигуру G .

Встреча состоит, если выполняются неравенства:

y – х ≤ ¼, у > х ( 1-й студент пришел раньше)

х – у ≤ ¼, х > у ( 2-й студент пришел раньше)

Этими неравенствами определяется форма фигуры g

у

у > х

1

х > у

х

1

Ее площадь равна: 1 - 2 = 1 - = = Р ■

Линейный и плоский случаи легко обобщаются на три и большее число измерений.

Лекция 3

План лекции

1.Комбинаторика

2.Теорема сложения вероятностей

3. Теорема умножения вероятностей

Расчет вероятностей.

В простейших случаях для расчета вероятностей используется непосредственный подсчет числа случаев, благоприятных событию А, и сопоставление его с общим числом всех исходов.

Пример 1. В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь того, что наугад открытая страница будет иметь номер, кратный 7

Решение. Достоверное событие распадается на n = 500 равновозможных случаев. Из них благоприятны наступлению события m = 71 случай, т.к. 500/7 = 71 . Поэтому

■

Когда непосредственный подсчет числа благоприятных случаев затруднен, часто используют формулы комбинаторики. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества. Простейшими и самыми распространенными комбинациями являются перестановки, размещения и сочетания.

Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов.

Число всех возможных перестановок P n = n! при этом 0! = 1, 1! = 1.

Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Здесь речь идет о количестве перестановок из 3-х различных чисел, т.е. Р3= 3! = 1 2 3 = 6.

Эти перестановки можно перечислить: 123; 132; 213; 231; 312; 321.

Размещением из n элементов по m элементов называется всякая перестановка из m элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов.

Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

Пример 3. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Здесь речь идет о размещениях из 6 элементов (флажков) по 2 элемента (флажка), поскольку порядок взятие каждого из двух флажков имеет значению. Таким образом:

■

Сочетанием из n элементов по m элементов называется всякая совокупность из элементов, выбранных каким-либо способом из данных m элементов.

Число сочетаний вычисляется по формуле:

Сочетания отличаются от размещений тем, что порядок отбора элементов не имеет значение. Если из n элементов двумя различными способами отобрать одни и те же m элементов, это будет одно и то же сочетание, но разные размещение.

Пример 4. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Две конкретные детали можно выбрать из десяти в любой последовательности, и каждый из способов соответствует одному и тому же сочетанию. Разными сочетания соответствуют разные пары деталей. Поэтому общее число способов равно числу сочетаний из 10 по 2:

■

Пример 5. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 туза?

Решение. Всего равновозможных событий (троек карт) может быть

Благоприятны событию А (два туза в трех картах) все наборы из двух тузов и одного не туза, т.е.

Таким образом: ■

Перестановки, размещения и сочетания связаны равенством:

Теорема сложения вероятностей: если события А1, А2, …, Аn попарно несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:

В частности, для двух несовместных событий А и В:

.

Пример 6. В ящике находятся катушки 4-х цветов: 50% белых, 20% красных, 20% зеленых и 10% синих. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зеленой или синей ?

Решение. Обозначим события: А – взятая катушка имеет зеленый цвет, В – катушка имеет синий цвет. Интересующее событие имеет вид А+В,

А и В – события несовместные. Поэтому:

■

В общем случае, когда события А1, А2, ..., Аn не являются попарно несовместными, вероятность их суммы равна:

Здесь

В частности, для двух событий А и В эта формула имеет вид:

Пример 7. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным 2 или 5.

Решение. Событие А – случайно взятое число кратно 2; В – число кратно 5. Двухзначных чисел всего 90: 10, 11, 12, …, 99. 45 из них кратны, 2, 18 кратны 5, поэтому:

9 чисел кратны и двум, и пяти: 10, 20, 30, …, 90, т.е.

Поэтому

■

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже произошло, называется условной и обозначается Р(А/В)

Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения (совместного появления) двух событий равна:

Пример 8. Из 25 лампочек 4 нестандартные. Найти вероятность того, чтобы две взятые одновременно лампочки окажутся нестандартными:

Решение. Искомое событие состоит в том, что нестандартными окажутся и первая (событие А), и вторая (событие В) лампочки. Но Р(А) = 4/25, Р (В/А) = 3/24, тогда:

■

Пример 9. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, оба шара белые.

Решение. Событие А1 – появление белого шара при первом вынимании, А2 – при втором вынимании. Нас интересует событие А1, А2. По теореме умножения вероятностей:

■

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность А меняется при наступлении В, противном случае событие А называется независимым от событие В, и тогда имеет место равенство:

Свойство независимости взаимное: если А не зависимо от В, то и В не зависимо от А. Если же событие А зависимо от В, то и В зависимо от А. Если же событие А зависимо от В, то и В зависимо от А. Для независимых событий А и В имеет место формула:

Независимость более чем двух событий может иметь различный характер.

События А₁, А₂, …, Аn называются попарно независимыми, если любые два из них независимы между собой.

События А₁, А₂, …, Ап называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий, одного или нескольких в любой комбинации и в любом числе.

Независимость событий в совокупности является более сильными требованием, чем их попарная независимость.

Пусть при некоторых условиях могут произойти следующие независимые события: А₁, А₂, ..., Ап.Тогда вероятность того, что произойдет по крайней мере одно из этих событий, равна:

Теорема умножения обобщается на любое конечное число событий: вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих каждому их них событий, т.е.

Порядок событий в этой формуле произволен.

Пример 10. В мастерской два мотора работают независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потребует внимания мастера, равна 0,9; для второго мотора на вероятность равна 0,85. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.

Решение. Событие А – 1-й мотор в течение часа не потребует внимания мастера; В – то же для 2-го мотора. Надо найти Р (АВ). Т.к. А и В – события независимые, то:

■

Пример 11. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для 1-го стрелка равна 0, 6, для 2-го – 0,7, для 3-го – 0,75. Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель. Если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение. Пусть А,В,С – события, состоящие в том, что в цель попал соответственно 1-й, 2-й, 3-й стрелок.

Требуется найти вероятность события А+В+С, поэтому:

■