Неравенство Чебышева

Вероятность отклонения СВ Х от ее математического ожидания подчиняется неравенству:

Р (|Х-а|>ε)≤ ,где D(Х) -дисперсия СВ Х.

События |Х-а|≤ε и |Х-а|>ε - противоположные , поэтому

Р (|Х-а|≤ε )≥1-Р(|Х-а| ε)

или Р(|Х-а|≤ε)≥ - это другая форма неравенства Чебышева.

Пример. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70 %. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение их всхожести непревзойден по абсолютной величин 0.01.

Решение. Частность события в n независимых испытаниях является случайной величиной. Ее математическое ожидание равно вероятности р наступления события в каждом испытании , а дисперсия равна pq/n.Поэтому неравенство Чебышева для частности события имеет вид:

Р ( | -р|≤ ε ) ≥ 1-

при р=0,7; q=0,3; ε=0,01; n=10000 имеем:

Р ( | - 0,7|≤ 0,01 ) ≥ 1- =1-0,21=0,79.

Для использования неравенства Чебышева необходимо, чтобы <1.Это нужно для того, чтобы вероятность оставалась величиной неотрицательной.

Если у неотрицательной СВ Х существует математическое ожидание М(Х), то при любом положительном ξ имеет мест неравенство

Р (Х<ξ)≥1-М(Х)/ξ (неравенство Маркова).

Пример. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет.

Решение. СВ. Х – срок службы мотора. М (Х)=4. Требуется оценить Р (Х<20).Эту вероятность можно рассматривать как левую часть неравенства Маркова с ξ=20:

Р(Х<20)≥1-4/20=0,8.

Пример. Сумма всех вкладов в некотором сбербанке составляет 20000 руб., а вероятность того. что случайно взятый вклад не превышает 100 руб., равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного сбербанка?

Решение. СВ Х- величина случайно взятого вклада n-число вкладчиков; Р (Х<100)=0,8;

следовательно, Р (Х<100)≥1-20000/n·100; отсюда

0,8≥1-200/n, или n≤1000.

Теорема Чебышева и ее следствия.

Теорема Чебышева. Пусть дисперсии независимых СВ Х₁,Х₂,…,Х_n ограничены одной и той же постоянной С, а число их достаточно велико. Тогда, как бы мало не было число ε>0,вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих СВ от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдет ε по абсолютной величине, сколь угодно близка к единице.

Следствие1. Если независимые СВ имеют одинаковые математические ожидания, равные а, дисперсии их ограничены одной и той же постоянной С, а число их достаточно велико, то для любого ε>0 вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих СВ от а не превзойдет по абсолютной величине ε,сколь угодно близка к единице:

Р (|Х₁+Х₂+…Х_n/n –а |≤ε)>1- , как бы ни были малы ε и .Следствие 1 является наиболее простой формой закона больших чисел. Согласно закону больших чисел, среднее арифметическое достаточно большого числа измерений практически будет, как угодно мало отличаться от истинного значения математического ожидания искомой величины.

Следствие 2.(теорема Пуассона). Если вероятность p_i наступления события А в i-испытании (i= ) не меняется, когда становятся известными исходы предыдущих испытаний, а число испытаний n достаточно велико , то вероятность того, что частность события А будет как угодно мало отличаться от среднего арифметического вероятностей p_i, сколь угодно близка к единице:

, для любых ε>0 и >0

Следствие3 (теорема Бернулли). Если вероятность р наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что частость события А будет как угодно мало отличаться от его вероятности , сколь угодно близка к единице:

Ни одна из рассмотренных теорем не дает точного или хотя бы приближенного значения искомой вероятности, а указывается лишь ее нижняя или верхняя граница. Приближенные значения вероятностей при больших n можно получить только с помощью предельных теорем. В них на случайные величины налагаются дополнительные ограничения или рассматриваются СВ определенного вида.

Теорема (Ляпунова). Если независимые СВ Х_1,Х₂,…,Х_n имеют конечные математические ожидания а₁,а₂,…,а_n и конечные дисперсии, число их достаточно велико, а предел

(*)

где С_i-абсолютные центральные моменты 3-го порядка СВ Х_i ( ),то сумма их с достаточной степенью точности распределены по нормальному закону с параметрами:

а=а₁+а₂+…+а_n; ²= ₁²+ ₂²+…+ _n².

Условие (*) называется условием Ляпунова. Смысл его состоит в том, что действие каждого слагаемого невелико по сравнению с суммарным действием их всех.

Теорема. Сумма достаточно большого числа одинаково распределенных независимых СВ, имеющих абсолютные центральные моменты 3-го порядка, распределена по нормальному закону.

Вопросы для самоконтроля знаний:

1.Алгебра событий.

2.Условная вероятность. Независимые случайные события.

3. Классическое определение вероятности события

4. Формула Бернулли, Пуассона, Теорема Лапласа (практическая значимость)

5. Формула полной вероятности, формула Байеса (практическая значимость)

6.Как определить математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины?

7. Сущность закона больших чисел.

8. Как определить математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины.