Моменты случайных величин.

Начальным моментом к-го порядка СВ х называется математическое ожидание ее к-й степени:

,если число значений СВ конечно,

,если число ее значений счетно,

ν_к=М (Х^к)= , для непрерывной СВ.

Центральным моментом к-го порядка μ_к СВ Х называется математическое ожидание к-й степени отклонения Х от ее математического ожидания; для непрерывной СВ

μ _к=М(Х-а)^к=

По аналогии можно получить формулы для вычисления центральных моментов дискретных СВ.Начальный и центральный моменты нулевого порядка любой СВ равны единице, поскольку при к=0 получаем:

ν _о=

μ _o= .

Начальный момент 1-го порядка есть математическое ожидание СВ: ν₁=М(Х). Это получается непосредственно, если в формуле для начальных моментов принять к=1.

Центральный момент 1-го порядка любой СВ равен нулю.

При к=2 получим μ₂=М (Х-а)²=Д(Х).

Абсолютным начальным моментом к-го порядка m_к СВ Х называется математическое ожидание СВ |Х|^к:

Абсолютным центральным моментом к-го порядка n_k СВ Х называется математическое ожидание СВ |Х-М(Х)|^к:

n_{k= ,} где a=M(X)

Моменты обладают очень важным свойством: если существует момент к-го порядка СВ Х, то существуют ее моменты и всех порядков ч‹к.

В важнейших случаях параметры, определяющие закон распределения СВ, выражаются через моменты первых порядков. Например, нормальный закон определяется двумя параметрами: математическим ожиданием а и дисперсией , т.е. начальным моментом 1-го порядка и центральным моментом 2-го порядка. Закон Пуассона определяется одним параметром - начальным моментом 1-го порядка – математическим ожиданием и.т.д. Таким образом, если эти моменты известны, то становится известным и закон распределения СВ. Поэтому моменты играют важную роль в теории вероятностей.

Лекция 9

План лекции

1. Принцип практической уверенности

2. Закон больших чисел.

3. Неравенство Чебышева

4. Теорема Ляпунова

Если в определенных условиях вероятность события очень мала, то при однократном их выполнении можно быть уверенным в том, что это событие не произойдет, и в практической деятельности поступать так, как будто оно является невозможным. Это и есть принцип практической уверенности.

Такую точную границу вероятности нельзя указать или вывести математически. Поэтому в каждом конкретном случае для каждого события мы должны устанавливать эту границу, исходя из того, насколько важны последствия при наступлении события, которое предполагается принять за невозможное.

Вероятность, которой решено пренебрегать в данном исследовании, называется уровнем значимости.

В статистике обычно рекомендуется пользоваться уровнем значимости 0,05 при предварительных исследованиях и 0.001 при окончательных выводах. Таким образом, в предварительных исследованиях за достоверные принимаются события, вероятности которых не менее 0,95, и при серьезных окончательных выводах, вероятности которых не менее 0,999.

Под законом больших чисел понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью , как угодно близкой к единице, отклонение среднего арифметического достаточно большого числа случайных величин от постоянной величины-среднего арифметического их математических ожиданий –не превзойдет заданного как угодно малого числа ε >0.

Очень давно было замечено, что среднее арифметическое числовых характеристик некоторых признаков в большом числе однородных случайных явлений подвержено очень незначительным колебаниям, т.е. обладает устойчивостью. Теоретически объяснить такое поведение среднего можно с помощью закона больших чисел. Если будут выполнены некоторые общие условия относительно случайных величин, то устойчивость среднего арифметического - практически достоверное событие. Эти условия и составляют наиболее важное содержание закона больших чисел.