Плотность вероятности непрерывной св.

Плотностью вероятности φ(х) непрерывной СВ называется производная ее фyнкции распределения:

φ (х)=

Наиболее важными являются непрерывные СВ, распределенные по нормальному закону (или закону Гаусса). В этом случае :

, где а, -параметры.

Непрерывная СВ называется равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:

Рассмотрим предыдущий пример с минутной стрелкой. Продифференцируем функцию распределения:

Непрерывная СВ называется распределенной по показательному закону, если она может принимать только неотрицательные значения, а ее плотность вероятности определяется равенством: =λе ^–λt, где t≥0, λ>0-параметр.

Такие СВ обладают следующим свойством: если распределенный по показательному закону промежуток уже длился некоторое время, то это не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная СВ Х примет какое-нибудь значение из интервала (а, b), равна

Из этой формулы можно получить, что =1

Вероятность того, что СВ примет какое-нибудь значение из интервала (-∞,+∞),равна единице, поскольку это событие достоверное. Это выражение называется условием нормировки.

Пример. Плотность вероятности СВ Х задана равенством =А/(1+х²) (-<х<+∞). Найти коэффициент А и вероятность того, что СВ Х примет значение из интервала (0;5).

Решение. Условие нормировки приводит к равенству :

Таким образом , ;

Функции φ(х) и F(x) взаимно определяют друг друга, поскольку:

.

Для полной характеристики СВ достаточно задать или функцию распределения, или плотность вероятности ее.

Кривой распределения непрерывной СВ называется график ее плотности вероятности.

Плотность вероятности любой СВ как производная неубывающей функции распределения является неотрицательной функцией при всех значениях аргумента. Для кривой распределения ось абсцисс служит асимптотой в обе или в одну сторону.

Лекция 8

План лекции

1. Математическое ожидание непрерывной СВ

2. Дисперсия непрерывной СВ

3. Нормальное распределение СВ

4. Моменты случайных величин

Математическим ожиданием М (Х) непрерывной СВ Х с плотностью вероятности φ(х) называется величина интеграла:

М (Х)=

если он сходится абсолютно, а дисперсией называется величина интеграла

D(Х)= , где а = М(Х), если он сходится.

Эти определения полностью аналогичны соответствующим определениям для дискретных СВ.

Свойства математического ожидания и дисперсии дискретных СВ справедливы и для непрерывных СВ. В частности, для дисперсии непрерывной СВ справедлива формула:

D (Х) =

Нормально распределенные св.

Нормальной кривой называется график плотности вероятности СВ, распределенной по нормальному закону. Нормальная кривая с параметрами =1, а=0 называется основной, нормированной или стандартной. Закон обозначается N(0;1)

Плотность вероятности нормально распределенной СВ:

а) Существует при всех действительных значениях аргумента;

б) имеет одно экстремальное значение-максимум при х=а, равный 1/( )

При этом нормальная кривая:

• симметрична относительно прямой х=а;

• имеет асимптоту, которой служит ось абсцисс;

• имеет две точки перегиба, расположенные симметрично относительно прямой х=а и находящиеся на расстоянии от нее;

• ординаты точек перегиба одинаковы и равны 1/( ).

Теорема. В выражениях плотности вероятности и функции распределения СВ, распределенной по нормальному закону:

;

параметры а и являются соответственно ее математическим ожиданием и с.к.о., а - ее дисперсией.

Нормальные кривые с одинаковыми имеют одинаковую форму. Они различаются лишь положением максимальной ординаты.

При разных более узкую форму имеет нормальная кривая с меньшим .

Функция распределения нормальной СВ представляет собой интеграл, не берущийся в элементарных функциях. Поэтому ее выражают через функцию

- функцию Лапласа (интеграл Лапласа), для которой составлены таблицы. Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке [-x,x].

Иногда под функцией Лапласа понимают

, которая равна половине приведенного выше выражения и геометрически охватывает площадь под нормальной кривой на отрезке [0,u].

В данном курсе будем понимать под функцией Лапласа первое выражение.

Теорема. Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа по формуле:

Теорема. Вероятность того, что нормальная СВ Х примет какое-нибудь значение из интервала (х₁,х₂),находится по формуле: