Определение двойственных оценок злп
Вернемся к нашему примеру ЗЛП:
Эта задача в двойственной форме имеет вид:
Исходная
задача была нами решена графически, и
решение равно
.
Воспользуемся теоремой о дополняющей
нежесткости и подставим компоненты
этого решения в ограничения исходной
задачи. В результате видно, что первое
и второе ограничения выполняются как
точные равенства, а третье ограничение
является строгим неравенством. Согласно
теореме, третья переменная двойственной
задачи должна быть равна нулю, т.е.
.
Согласно этой же теореме, поскольку обе
компоненты решения исходной задачи не
равны нулю, и оба ограничения двойственной
задачи выполняются как равенства. Если
в этих равенствах обнулить последнюю
переменную, то получим систему двух
уравнений с двумя неизвестными:
Решая
эту систему, получаем
.
Другим способом получения двойственного решения является использование симплекс-таблиц исходной задачи. Рассмотрим последюю симплекс-таблицу из предыдущего раздела. Решение двойственной задачи (план) находится в индексной строке, в столбцах, соответствующих первоначальному базису.
Рассмотрим
данный способ в более общей постановке.
Пусть имеется пара двойственных задач,
основная и двойственная. Предположим,
что с помощью симплекс-метода найден
оптимальный план
прямой задачи, и этот план определяется
базисом, образованным векторами
.
Обозначим через
матрицу-строку, составленную из
коэффициентов при этих переменных в
целевой функции прямой задачи, а через
-
матрицу, обратную матрице D,
составленной
из компонент векторов оптимального
базиса. Тогда имеет место следующее
утверждение.
Теорема.
Если основная задача линейного
программирования имеет оптимальный
план
,
то
является оптимальным планом двойственной
задачи.
Применительно к рассмотренному нами примеру матрица D, составленная из столбцов первоначальной симплекс-таблицы, соответствующих окончательному базису, имеет вид:
.
Тогда обратная к ней матрица равна
.
Вектор
находится в левой части последней
симплекс-таблицы и равен
.
Проведем перемножение, получим результат:
.
Эти значения и находятся в индексной
строке последней таблицы.
Экономическая интерпретация двойственных оценок
Согласно первой теореме двойственности, , следовательно, можем записать:
|
(11) |
т.е.
доход зависит от объёмов ресурсов:
.
Вычислим градиент этой функции:
|
(12) |
Сделаем следующие выводы:
Формула
(11) отражает общий принцип баланса
результатов производства
и затрат
.
Двойственные оценки обеспечивают этот
баланс.
Из
(11) и (12) следует, что
при изменении отдельно взятого ресурса
на единицу увеличивается ровно на
величину двойственной оценки этого
ресурса:
|
(13) |
Например, увеличение избыточного ресурса не оказывает влияния на прибыль , поскольку двойственная оценка избыточного ресурса равна нулю.
Двойственные
оценки определяют дефицитные
и избыточные
ресурсы. Например, в ранее рассмотренном
примере из решения симплекс-методом
видно, что третий ресурс является
избыточным при производстве продукции,
поскольку
.
Это подтверждается также и тем фактом,
что значение балансовой переменной
,
и это означает неиспользованный остаток
сырья третьего вида.
Замечание. Формула (13) верна только при достаточно малом изменении объёмов ресурсов по сравнению с их общим количеством. Если это изменение велико, то учетная цена того или иного ресурса может стать нулевой. Точные количественные границы такого изменения рассмотрим ниже.