Транспортная задача по критерию времени

В некоторых транспортных задачах вместо тарифов задают величины t_ij – время доставки товара от i-го поставщика к j-му потребителю (например, при перевозках скоропортящихся грузов). Требуется найти план перевозок, при котором будет затрачено минимальное время. Эта задача не является ЗЛП, поскольку целевая функция не линейна относительно переменных x_ij. Рассмотрим метод решения этой задачи, который называется «методом запрещенных клеток».

Алгоритм решения (для закрытой модели ТЗ) содержит следующие этапы:

1. Находим опорное решение, например, методом северо-западного угла.

2. Находим время, затрачиваемое на этот план: , т.е. самое продолжительное время перевозок в занятых клетках.

3. Пытаемся улучшить решение, для чего:

   1. Вычеркиваем свободные клетки, в которых время перевозки не меньше, чем Т₁ (эти клетки нет смысла занимать)

   2. Для самой продолжительной среди занятых клеток строим разгрузочную цепь- замкнутую линию с прямыми углами в вершинах. Первая вершина та, для которой строится цепь. Нечетные вершины должны попасть в занятые клетки, и они помечаются знаком плюс, четные вершины могут попасть и в занятую, и в незанятую клетки, и они помечаются знаком минус. Перебрасываемая величина прибавляется к четным вершинам и вычитается из нечетных вершин. Для данной клетки может быть несколько цепей.

4. План будет оптимальным, а время минимальным, когда для самой продолжительной из занятых клеток нельзя построить разгрузочную цепь.

Пример. Решить ТЗ по критерию времени (рассмотрим таблицу с планом перевозок по методу С-З угла).

bj ai	50	60	30	80
70	4 50 -	2 20 +	1 -	6 -
90	1 - +	3 40 -	3 30	2 20
60	3 -	6 -	4 -	3 60

Отметим запрещенные клетки. Целевая функция имеет значение T₁=max(4;2;3;3;2;3)=4=t₁₁. Расставим разгрузочную цепь и знаки – плюсы и минусы – в вершинах. Перебрасываемая величина =min(50;40)=40 (минимум берем по перевозкам в отрицательных вершинах). Значение этой величины вычитаем из отрицательных вершин и прибавляем к положительным вершинам цепи, получаем новый опорный план:

bj ai	50	60	30	80
70	4 10 -	2 60	1 - +	6 -
90	1 40 +	3 -	3 30 -	2 20
60	3 -	6 -	4 -	3 60

Новый план не уменьшил значение целевой функции, поэтому из той же клетки строим новую цепь, где перебрасываемая величина равна 10. Повторяем пересчет плана, новый план имеет вид:

bj ai	50	60	30	80
70	4 -	2 60	1 10	6 -
90	1 50	3 -	3 20	2 20
60	3 -	6 -	4 -	3 60

Теперь целевая функция имеет значение 3, поэтому в новом плане запрещаем очередные клетки. После этого не остается ни одной свободной незапрещенной клетки, разгрузочную цепь построить нельзя, план оптимален. Задача решена.

37