Лекция по линейному программированию Введение. Предмет математического программирования

Математическое программирование- область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения экстремальных задач с ограничениями на область изменения переменных.

Математическое программирование возникло на стыке математики и экономики, то есть это-математические методы решения экстремальных задач, и в то же время- новый раздел математики.

Формулировка экономико- математической задачи включает:

а) формирование целевой функции (показателя эффективности или критерия оптимальности), то есть функции, экстремальное значение которой нужно найти в пределах экономических возможностей;

б) формирование системы ограничений, представляющее формализацию экономических возможностей.

Все это составляет экономико-математическую модель (ЭММ) задачи.

ЭММ- это абстрактное отображение реального экономического процесса в виде математических формул, уравнений, неравенств, цифр и т.д.

Запись задачи математического программирования

Найти значение n переменных - n-мерный вектор (план), доставляющий экстремальное значение целевой функции

(1)

и удовлетворяющий системе ограничений

	(2)
	(3)

(последние неравенства вытекают из экономических или физических соображений)

Здесь для любого i -известные заданные функции, - область допустимых решений (или экономических возможностей), b_i =const

План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым ( )

Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным и обозначается .

Экстремальное значение функции цели обозначается

Классификация методов математического программирования

Даётся в зависимости от вида функций (1) и (2):

• линейное программирование (ЛП): все функции (1) и (2) линейны относительно неизвестных x_j , j=1,…,n;

• нелинейное программирование: целевая функция (1) или хотя бы одна из функций (2) нелинейна;

• дискретное программирование: на переменные x_j наложено условие дискретности; частным случаем дискретного программирования является целочисленное программирование, в котором переменные принимают только целые значения;

• динамическое программирование: параметры целевой функции или системы ограничений изменяются во времени, либо целевая функция имеет аддитивный или мультипликативный вид или процесс выработки решения имеет многошаговый характер;

• стохастическое программирование: переменные x_j , j=1,2,…,n сами являются функциями или случайными величинами, например, в задачах принятия решений в конфликтных ситуациях, в условиях неполной или недостоверной информации, в условиях риска.

Линейное программирование Основная задача линейного программирования (злп)

Формулировка ЗЛП: найти вектор переменных , который удовлетворяет системе линейных ограничений (уравнений и неравенств) и обеспечивает экстремальное (максимальное или минимальное) значение линейной целевой функции .

Общая форма записи ЗЛП в компактном виде:

(4)

-требование оптимизации;

	(5)
	(6)
	(7)

- нетривиальная система ограничений;

(8)

- тривиальные неравенства (могут все отсутствовать).

Задача (4)-(8) называется основной задачей линейного программирования. Коэффициенты - заданные действительные числа. Кроме того, в модель могут быть введены и другие ограничения.

Замечания.

1. Есть экономические задачи, в которых ограничения состоят только из строгих неравенств (например, закрытая модель транспортной задачи).

2. Если в модели есть ограничения вида , то их можно преобразовать в неравенства вида умножением обеих частей неравенства на (-1).