8. Предварительный выбор закона распределения

Большинство применяемых в практике контроля статистических методов основано на предложении, что распределение контролируемого признака подчиняется определенному теоретическому закону (нормальному, биноминальному, пуассоновскому и так далее) с параметрами, либо оцениваемыми по выборке, либо заранее известными. Применению этих методов должна предшествовать проверка по данным выборочных наблюдений гипотезы о законе распределения. Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Чаще всего на практике имеют дело с нормальным распределением. Чем это объясняется? Ответ на этот вопрос дан А.М.Ляпуновым в центральной предельной теореме теории вероятности. Приведем следствие из нее: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Функция плотности нормального закона распределения имеет вид , а интегральная функция распределения –

У нормального распределения два параметра (количество параметров ): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение . Их оцениваем по выборке: .

Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой .

1) Для нормального закона средняя арифметическая , мода и медиана равны как характеристики центра распределения:

У нас: 9,0548; 9,115; 9,097.

Как видно, значения этих величин практически не отличаются друг от друга.

2) У кривой нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

У нас: –0,3; –0,25.

Как видно, значение коэффициента асимметрии и значение коэффициента эксцесса отличаются от нуля. (Замечание: считается, что число , если 1.)

3) В случае нормального распределения справедливо следующее условие:

Проверим выполнение этого условия для нашего примера.

;

.

Условия выполняется.

4) На практике для выдвижения гипотезы о нормальном распределении используют правило 3-х сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения, т.е. все значения случайной величины должны попасть в интервал: :

Рисунок 5. – Правило 3-х сигм.

В нашем случае все значения величин попадают в интервал , равный , то есть в интервал (6,3848; 11,7248), так как 6,75, 10,97.

Таким образом, у нас есть основания предположить, что изучаемая случайная величина распределена по нормальному закону (нулевая гипотеза):

,

где – опытные частоты, – теоретические частоты, – длина интервала, – объём выборки, – среднее квадратическое отклонение, – табулированная функция, .

9. Проверка гипотезы о виде распределения

Проверка гипотезы о законе распределения значения признака в генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Проверяемая (нулевая) гипотеза утверждает, что значения признака в выборке, взятой из генеральной совокупности, распределены по предполагаемому закону.

Для проверки гипотезы о виде распределения необходимо вычислить теоретически ожидаемые (выравнивающие) частоты, которые должны были бы получиться, если бы распределение действительно соответствовало предполагаемому.

Теоретические частоты вычисляются по формулам:

1) в случае дискретной случайной величины , где – объем выборки; – вероятность случайной величины принять значения равное .

2) в случае непрерывной случайной величины , где – объем выборки, – середина интервала; – функция плотности теоретического распределения, вычисленная в точке ; h – длина интервала.

Проверку гипотезы о виде теоретического распределения можно провести с помощью критерия согласия Пирсона , основанного на статистике:

где – опытные частоты, – выравнивающие частоты.

Гипотеза отвергается, если вычисленное значение окажется больше критического , найденного по таблицам распределения для уровня значимости и числа степеней свободы , где – число интервалов, – число оцениваемых параметров предполагаемого теоретического распределения (приложение 2).

Например, если проверяется согласие экспериментальных данных нормальному закону распределения, для которого r=2, то число степеней свободы .

Следует учитывать, что при использовании критерия согласия Пирсона общее число наблюдений должно быть достаточно большим ( 50), и число наблюдений в интервалах должно быть не менее пяти . Интервалы, у которых <5 нужно объединить, а их частоты сложить.

Проверим для нашего примера гипотезу о нормальном законе распределения изучаемой величины для уровня значимости . Найдем выравнивающие частоты.

Таблица 4.

6,97	3		11	-2,09	-2,34	0,0258	1,2412	1	12
7,40	6			-1,66	-1,86	0,0707	3,4014	3
7,83	2			-1,23	-1,38	0,1569	7,5485	8
8,26	14			-0,80	-0,89	0,2685	12,9176	13
8,69	14			-0,37	-0,41	0,3668	17,6469	18
9,12	24			0,06	0,07	0,3980	19,1479	19
9,55	14			0,49	0,55	0,3429	16,4970	16
9,98	12			0,92	1,03	0,2347	11,2915	11
10,41	9	11		1,35	1,51	0,1276	6,1389	6	9
10,84	2			1,78	1,99	0,0551	2,6509	3

Находим с учетом объединения интервалов (объединяем первый, второй и третий интервалы, а также девятый и десятый)

=

=3,15.

Определим . Число степеней свободы =7–3=4, тогда при уровне значимости имеем =9,5.

Имеем < . Следовательно, в рассматриваемом примере нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении изучаемой случайной величины.

Вид функции плотности вероятности данной случайной величины, распределённой по нормальному закону в нашем случае:

.

Интегральная функция распределения такова

.

Построим кривую Гаусса данного распределения. Найдем максимум кривой Гаусса

.

Рисунок 6. –.Полигон частот и кривая Гаусса