5.3. Показатели формы распределения
На практике приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинным распределением. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. При изучении распределений, отличных от нормального, возникнет необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят такие характеристики, как асимметрия и коэффициент эксцесса. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному.
1) Коэффициент асимметрии определяется по формуле:
Если
=0,
то ряд симметричен относительно моды.
При
>
0 скошенность вправо, средняя арифметическая
правее моды, «длинная часть» кривой
распределения расположена справа от
моды. При правосторонней асимметрии
.
При
<
0 скошенность влево, средняя арифметическая
левее моды, «длинная часть» кривой
распределения расположена слева от
моды. При левосторонней асимметрии
.
Напомним, что мода – точка максимума дифференциальной функции распределения.
В нашем случае:
=–0,3.
Коэффициент асимметрии отрицательный, следовательно “длинная часть” кривой, полученной на основании опытных данных, расположена слева от моды и средняя арифметическая левее моды (рисунок 3). Заметим, что в нашем случае коэффициент асимметрии близок к нулю.
Р
исунок
3. – Левосторонняя асимметрия.
2) Коэффициент эксцесса определяется по формуле:
Если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая (островершинное распределение); если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и "плоскую" вершину, чем нормальная кривая (плосковершинное распределение).
Замечание:
.
Если
близок к –2, то кривая двухвершинная.
При
кривая распадается на две островершинные
кривые, что говорит о неоднородности
статистического материала.
В нашем случае:
=–0,25.
К
оэффициент
эксцесса отрицательный, следовательно,
вершина кривой ряда распределения ниже,
чем у кривой нормального распределения.
Рисунок 4. – Плосковершинное распределение.
6. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности
Задачи математической статистики практически сводятся к оценке свойств генеральной совокупности по результатам случайной выборки.
Любую
функцию
от результатов выборочных наблюдений
принято,
называть статистикой (выборочной
характеристикой). Статистики обычно и
используются для построения статистических
оценок параметров
генеральной совокупности, когда точные
значения этих параметров нам неизвестны.
Статистику
используемую как оценку параметра
,
называют точечной оценкой. Из точечных
оценок в приложениях математической
статистики наиболее часто используют
среднюю арифметическую
как оценку математического ожидания
,
выборочную дисперсию
и среднее квадратическое отклонение
,
как оценки генеральной дисперсии
и среднего квадратического отклонения
.
В математической статистике в зависимости от задачи статистику рассматривают либо как случайную величину, либо как число (конкретную реализацию случайной величины). Возникает вопрос, каким требованиям должны отвечать точечные оценки, чтобы их можно было считать в каком-то определенном смысле "хорошими". Эти требования характеризуют понятиями несмещенности, состоятельности и эффективности.
Оценку
называют несмещенной,
если при любом объеме выборки n
ее математическое ожидание равно
оцениваемому параметру
,
то есть
=
.
В
случае большой выборки
оценка
параметра
называется состоятельной,
если по мере роста числа наблюдений n
(то есть
в случае конечной генеральной совокупности
объемом N
или при
в случае бесконечной генеральной
совокупности) она стремится к оцениваемому
параметру
.
Несмещенная
оценка
параметра
называется эффективной,
если среди прочих несмещенных оценок
того же параметра она обладает наименьшей
дисперсией.
Точечные оценки параметров генеральной совокупности в нашем примере:
9,0548;
9,115;
9,097;
0,89;
0,7988;
9,8;
–0,3;
–0,25.
Точечная оценка без указания степени точности и надежности малоинформативна, так как наблюдаемые значения статистики есть лишь значения случайной величины. Она может существенно отличаться от оцениваемого параметра при малом объеме выборки, что приводит к грубым ошибкам.
Интервальной
оценкой параметра
называют такой интервал
,
относительно которого можно утверждать
с определенной, близкой к единице
вероятностью
,
что он содержит неизвестное значение
.
Величину
называют доверительной вероятностью
или надежностью оценки параметра
,
,
–
некоторые функции от результатов
выборочных наблюдений
.
Разность 2
=
–
между
верхней и нижней границами доверительного
интервала называют длиной доверительного
интервала, а величину
– точностью оценки.
Для построения интервальных оценок необходимо знать закон распределения статистики .
На
практике закон распределения генеральной
совокупности неизвестен. В этом случае
пользуются приближенным методом
построения доверительных интервалов,
суть которого в следующем: если считать,
что распределение выборочных характеристик
в больших выборках асимптотически
нормалью (для дисперсии это справедливо
при
,
а для средней арифметической при
),
то доверительные интервалы строятся
следующим образом
где
– оцениваемый параметр;
*
– выборочная оценка параметра;
–
стандартные ошибки выборочной
характеристики (главный член среднего
квадратического отклонения);
–
найденное по таблице значений функций
Лапласа
,
соответствующее доверительной
вероятности
:
.