Лабораторные работы по курсу «Численные методы» Вариант 1

Задача 1-1.

Определить "самое большое целое число" используемое в данной программе машины (и для данного языка програмирования),

- какое число битов используется для представления целых чисел?

- что происходит при переполнении?

Задача 2-1

В полиноме 5-ой степени найти все вещественные корни уравне-

ния Р₅(х)=0.

Выбрать и обосновать метод решения.

При вычислениях значений полинома использовать схему Горнера.

х⁵ - х⁴ - 27*х³ + 13*х² + 134*х - 120 = 0

Задача 3-1

В ходе эксперимента получены следующие семь пар данных:

t	-1.000 -0.960 -0.860 -0.790 0.220 0.500 0.930
y	-1.000 -0.151 0.894 0.986 0.895 0.500 -0.306

Нужно получить значения y(t) для t в интервале [‑1.000,1.000] посредствам интерполирования по данным точкам.

1. Нанести точки на график и провести гладкую интерполирующую кривую по интуиции;

2. Найти полином 6-ой степени (глобальный интерполянт) и построить его;

3. Найти кусочно-многочленную интерполяцию (кубический сплайн) соответствующий данным точкам и построить его.

Задача 4 – 1

Тензор модулей упругости пьезокварца имеет следующий вид:

С11	С12	С13	С14	0	0
С12	С11	С13	-С14	0	0
С13	С13	С33	0	0	0
С14	-С14	0	С44	0	0
0	0	0	0	С44	С14
0	0	0	0	С14	(С11–С12)/2

где

С11 = 86,81*10⁹ н/м² ; С14 = –18,05*10⁹ н/м² ;

С12 = 7,05*10⁹ н/м² ; С44 = 58,18*10⁹ н/м² ;

С13 = 12,0*10⁹ н/м² ;

С33 = 105,76*10⁹ н/м² .

Найти вид и значения матрицы модулей упругих податливостей S_ik (обратную матрицу) этого материала.

Закон Гука для анизотропного твердого тела можно записать в двух видах:

_i = C_ik u_k или u_i = S_ik _k

где _i – тензор механических напряжений; u_k – тензор деформаций; C_ik – матрица модулей упругости; S_ik – матрица модулей упругих податливостей.

(индексы i, k могут принимать значения от 1 до 6 и заменяют пару индексов в тензорной форме записи соответствующих симметричных тензоров - _pq_i

по правилам:

pq	i
11	1
22	2
33	3
23, 32	4
13, 31	5
12, 21	6

Ответы:

S₁₁ = 127,710^-13 м²/н;

S₃₃ = 96,810^-13 м²/н;

S₄₄ = 200,210^-13 м²/н;

S₁₂ = -18,210^-13 м²/н;

S₁₃ = -12,410^-13 м²/н;

S₁₄ = -45,010^-13 м²/н;

Лабораторные работы по курсу «Численные методы» Вариант 2

Задача 1-2

Определить число значащих цифр мантиссы (в двоичной и десятичной системах),

- что происходит при переполнении?

- максимальное значение показателя и число бит отводимое под показатель?

Задача 2-2

Для уравнения:

cos(x) + sin² (x)

х = -------------------

10

реализовать алгоритмы нахождения корней методом итераций и методом Эйткена-Стефенсона.

Сравнить необходимое число итераций для определения корня с относительной погрешностью – 10^-6 (при одинаковом исходном значении х₀)

Задача 3-2

В приведенной ниже тарировочной таблице для термопары даны показания вольтметра при изменении температуры с постоянным шагом:

Т,°С	0	20	40	60	80	100
U, мВ	-0.670	-.254	0.171	0.609	1.057	1.517

С помощью интерполяции по Лагранжу найти показания вольтметра при Т = 55 °С.

Решить задачу используя метод Ньютона.

Задача 4 – 2

Написать программу решения системы n линейных алгебраических уравнений, реализующую метод Гаусса. С ее помощью решить системы уравнений:

1.

7.9*x1 + 5.6*x2 + 5.7*x3 - 7.2*x4 = 6.68

8.5*x1 - 4.8*x2 + 0.8*x3 + 3.5*x4 = 9.95

4.3*x1 + 4.2*x2 - 3.2*x3 + 9.3*x4 = 8.6

3.2*x1 - 1.4*x2 - 8.9*x3 + 3.3*x4 = 1

2.

6*x1 - x2 - x3 = 11.33

- x1 + 6*x2 - x3 = 32

- x1 - x2 + 6*x3 =42

Лабораторные работы по курсу «Численные методы» Вариант 3

Задача 1-3

Непосредственно оценить ошибки допускаемые при выполнении серии умножений и делений.

Для этого использовать выражение:

где a_i - выборка n случайных чисел.

Как изменяется среднее отклонение, при увеличении n?

Задача 2‑3

Написать программу определения корней уравнения

f(x) = x - cos(x) = 0

реализующую метод вилки и метод простой итерации.

Сравнить необходимое число итераций для получения относительной

погрешности 0.00001.

Задача 3-3

Для функции

на интервале [-1 , 1]

• построить полиномы 5-ой 10-ой и 20-ой степени, используя результаты вычисления функции в необходимом количестве узловых точек, отстоящих друг от друга на интервале на одинаковом расстоянии (равноотстоящие узлы).

Построить графики исходной функции и полученных интерполянтов (для построения графиков можно использовать MathCad

Задача 4-3

Используя метод Гаусса-Жордана решить системы линейных уравнений:

1.

4*x1 + 3*x2 + 2*x3 + x4 = 3

3*x1 + 6*x2 + 4*x3 + 2*x4 = 6

2*x1 + 4*x2 + 6*x3 + 4*x4 = 4

x1 + x2 +5*x3 + 3*x4 = 2

2.

x1 + 2*x2 + x3 = 1

-x1 - 2*x2 + 2*x3 = 1

x2 + x3 = 2

Лабораторные работы по курсу «Численные методы» Вариант 4

Задача 1-4

Показать что математически строгое определение производной:

при вычислении на ЭВМ всех функций, определенных в x₀ = 1, дает 0.

Расчет выполнить на примере ф-ции sin(x); брать h₁,h₂,...,h_n = 2^-n.

Определить начиная с какого n получаются "точные" значения, с какого начинает расти ошибка, с какого - получается 0.

Задача 2‑4

Проанализировать положение корней и определить корни трансцендентного уравнения

2^х = 4х

Обосновать выбранный метод решения уравнения.

Задача 3-4

Составить программу, реализующую интеполяционный метод Эйткена, для вычисления значения функции f(x) заданной, в N узловых точках

x₀, x₁,...,x_i,...x_n-1 для произвольной задаваемой в качестве параметра программы точки x.

Определить с помощью нее значение f(2), если заданы:

x	-3	-2.45	-1.2	0.5	0	3	4.5
f(x)	0.02	0.56	0.78	1	0.91	0.32	0.01