Розв’язування

У даному випадку відома величина внеску на рахунок ренти , а також відсоток прибутку , тобто

Підставимо значення та у формулу і отримаємо шукану величину

(значення взято з таблиці додатку 5). З останньої рівності знаходимо

Отже, мадам Стоун буде одержувати щорічну рентну виплату величиною 12 355,53 доларів.

д) Уряд випустив 90-денні векселі з простою дисконтною ставкою 6% річних. Підрахуйте ефективну ставку річного доходу, отриманого інвестором, що купує вексель, випущений у продаж і тримає його до терміну погашення.

Розв’язування

Розглянемо рік з 365 днів. Якщо номінал векселя дорівнює , то вартість його покупки дорівнює (це випливає з означення простої дисконтної ставки та 90-денного строку погашення). Якщо ефективна річна ставка дорівнює , та вексель буде викуплено через 90 днів за ціною С, то його сучасна ціна дорівнює

З рівності

визначаємо

Приклад 23. Розв’язати задачу економічної математики.

а) Швейне підприємство виготовляє зимові пальто, демосезонні пальто і плащі. Плановий випуск за декаду характеризується вектором X = (10, 15, 23). Використовуються тканини чотирьох типів Т₁, Т₂, Т₃, Т₄. В таблиці приведено норми використання тканини (в метрах) на кожен виріб. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задає вартість метра тканини кожного типу, а вектор P = (5, 3, 2, 2) – вартість перевезень метра тканини кожного виду.

Виріб	Розхід тканини
	Т1	Т2	Т3	Т4
Зимове пальто	5	1	0	3
Демосезоне пальто	3	2	0	2
Плащ	0	0	4	3

1. Скільки метрів тканини кожного типу буде потрібно для виконання плану?

2. Знайти вартість тканини, яка використовується для пошиття виробу кожного виду.

3. Визначити вартість усієї тканини, необхідної для виконання плану.

4. підрахувати вартість всієї тканини з врахуванням її транспортування.

Розв’язування

Позначимо через А матрицю, яку дано нам в умові, тобто

A = ,

тоді для знаходження кількості метрів тканини, необхідної для виконання плану, потрібно вектор X помножити на матрицю А:

X А = (10,15, 23) = = = (95, 40, 92, 129).

Вартість тканини, яка використовується для пошиття виробу кожного виду, знайдемо, перемноживши матрицю А і вектор C^T:

А C^T = = .

Вартість усієї тканини, необхідної для виконання плану, визначиться за формулою:

X А C ^T = (10,15,23) = .

Накінець, з врахуванням транспортних витрат уся сума буде дорівнювати вартості тканини, тобто 9472 гр. од., плюс величину

X А P ^T = (95, 40, 92, 129) .

Отже, X А C ^T + X А P ^T = 9472 + 1037 = 10509 (гр. од).

б) Нехай задана балансова модель Леонтьєва “витрати-випуск”. Визначити, чи буде продуктивною матриця технологічних коефіцієнтів A. Знайти вектор валової продукції X при заданому Y, де

A= .

Розв’язування

Для розв’язання питання про продуктивність матриці A необхідно знайти власні значення цієї матриці. Складемо характеристичне рівняння:

,

або

(0,125 -)² - 0,140625 = 0  0,125 -  =  0,375.

Отже, ₁ = 0,5; ₂ = - 0,25. Обидва корені за модулем менші одиниці, значить, матриця технологічних коефіцієнтів A продуктивна. Для визначення вектора валової продукції X маємо формулу X = (E - A) ^1 Y. Знайдемо обернену матрицю для матриці

E - A= .

Позначивши B = E-A, тоді .

Отже,

X = .

в) Відносно попиту кількості одиниць х певного товару вартістю р за кожну одиницю відомо, що еластичність попиту, яка визначається формулою , постійна і дорівнює . Знайти функцію попиту на цей товар.