3.3.2.2. Балістична похибка гм

Розглянемо рух точки підвісу ГМ з прискоренням ( ). Насамперед нас цікавитиме та добавка до похибки гіромаятника, окрім перерахованих, яка відрізняє поводження гіромаятника в цьому випадку від його поводження при руху об'єкта з постійною швидкістю.

Маючи це на увазі, покладемо в рівняннях (3.69) всі моменти сил рівними нулю. Тоді рівняння руху гіромаятника набудуть вигляду

; ; (3.87)

Застосуємо компресію рівнянь. Введемо комплексну змінну

(3.88)

Зкомпресувавши рівняння (3.87), отримаємо

. (3.89)

Тут через позначена комплексна величина вектора абсолютної швидкості точки підвісу.

. (3.90)

Якщо , тобто при русі об’єкта з постійною швидкістю, у рівнянні (3.89) праворуч стоятиме незмінна величина, яка визначає, як було зазначено швидкісну похибку . Ця похибка відшукується як частинний розв’язок (3.89) при незмінній правій частині:

.

Якщо ж швидкість змінюється з часом, то швидкісна похибка також змінюватиметься і визначатиметься аналогічним співвідношенням

. (3.91)

Подамо повний розв’язок рівняння (3.89) у вигляді

, (3.92)

тобто виділимо з частинного розв’язку рівняння частину , яка відповідає швидкісній похибці (3.91). Складова , як і завжди, відображує перехідну складову руху і відповідає загальному розв’язкові відповідного однорідного рівняння. Тоді складова буде являти собою шуканий додаток до частинного розв’язку, обумовлений дією прискорення основи. Вона отримала назву балістичної похибки.

Підставляючи (3.92) у (3.89), із огляду на (3.91), одержимо

. (3.93)

Розв’язок цього рівняння складається із суми двох складових: , яка є загальним розв’язком однорідного рівняння і тому визначається виразом , і , яка є окремим розв’язком неоднорідного рівняння

. (3.94)

Цей частинний розв’язок (а, отже, й шукана балістична похибка) обертається в нуль, якщо виконано умову

. (3.95)

Це означає, що, якщо між параметрами гіромаятника існує зв'язок, що описується формулою (3.95), то за довільного руху об'єкта по поверхні Землі з прискоренням повна похибка гіромаятника буде складатися, окрім перехідної складової, лише із швидкісної його похибки.

Якщо початкові умови такі, що головна вісь гіромаятника займає положення , що відповідає швидкісній похибці у початковий момент часу, то перехідна складова буде відсутня і вся похибка гіромаятника визначиться швидкісною похибкою, яка змінюється з часом.

Умову (3.95) називають умовою незбурності гіромаятника. Вона також називається умовою Шюлера, за йменням німецького ученого Макса Шюлера, що вперше встановив її.

Перетворимо умову (3.95) до більш зручного вигляду. Для цього знехтуємо вертикальною кутовою швидкістю географічної системи у порівнянні з кутовою швидкістю прецесії гіромаятника

.

Тоді отримаємо

, (3.96)

або, переходячи до періоду прецесії ,

. (3.97)

Тут і є позначеннями так званих частоти Шюлера і періоду Шюлера, які формально збігаються з відповідними величинами для математичного маятника з довжиною, рівною радіусу Землі.