2.1.3.1. Вільний рух сзг

Вільний рух гіроскопу характерний тим, що на нього не діють моменти зовнішніх сил. Тому у попередніх рівняннях потрібно покласти

. (2.9)

Внаслідок цього рівняння (2.2) набудуть вигляду

, (2.10)

з чого одразу випливає, що у цьому випадку вектор повного кінетичного момента СЗГ буде сталим

, (2.11)

а його положення у просторі не буде змінюватися

. (2.12)

Якщо ж врахувати (2.9) у (2.5) і (2.4), отримаємо рівняння

, (2.13)

причому величина

(2.14)

є, за умови (2.11), сталою.

Розв'язок системи (2.13), як неважко довести, має вигляд

. (2.15)

Отже, кут між віссю фігури і кінетичною віссю залишається незмінним протягом усього руху гіроскопа.

У той же час самі значення кутів і не є сталими.

Покажемо це за умови малих кутів і (мається на увазі кут у 1 радіан). Тепер рівняння (3.13) можна подати у вигляді

. (2.16)

Розв’язок цієї системи лінійних диференційних рівнянь зі сталими коефіцієнтами має вигляд:

;

. (2.17)

Отже, гіроскоп здійснює гармонічні коливання з кутів і із частотою (2.14). Ці коливання називають нутаційними, а частоту - частотою нутації гіроскопа.

Неважко збагнути, що нутаційні коливання зводяться до обертання осі фігури по конусу навколо нерухомої у просторі кінетичної осі. Останнє обертання здійснюється зі сталою кутовою швидкістю , і за нього кут між віссю фігури і кінетичною віссю дійсно залишається незмінним.

2.1.3.2. Рух сзг під дією сталого моменту сил

Розглянемо найпростіший випадок, коли на СЗГ діє лише момент вздовж осі :

. (2.18)

Врахування (2.18) у (2.2) дає

звідки випливає:

; ;

. (2.19)

Тобто вектор повного кінетичного момента рівномірно обертається по конусу навколо нерухомої осі (рис. 2.1, 2.2) зі сталою кутовою швидкістю , величина якої визначається величиною діючого моменту сил.

Якщо ж умову (2.18) використати у (2.4), отримаємо

, (2.20)

де

2 (2.21)

є, як і у попередньому випадку, сталою величиною. Для малих кутів рівняння (2.20) стають лінійними зі сталими коефіцієнтами

, (2.22)

які мають розв’язок

, (2.23)

де позначено

. (2.24)

У площині координат ( , ) розв’язком (2.23) описується траєкторія апексу у вигляді кола з центром у точці (0, ) і радіусом .

Наприклад, коли початкові значення (це має місце тоді, коли початкові швидкості гіроскопа відсутні ( ), вісь фігури описує з кутовою швидкістю, що дорівнює частоті нутації, коло у площині ( , ) з тим же центром і радіусом , яке проходить через початок координат (0,0) (точку, яка є слідом кінетичної осі).

Якщо ж початкові умови підібрати такими

; ,

то нутаційні коливання будуть повністю відсутні.

Резюмуючи, можна стверджувати, що за дії сталого за величиною момента зовнішніх сил рух осі фігури СЗГ складається з двох рухів:

• рівномірного обертання вектора повного кінетичного момента навколо нерухомої у просторі осі з кутовою швидкістю (1.19) вимушеної прецесії;

• рівномірного обертання самої осі фігури з кутовою швидкістю нутації (2.21) навколо осі, зсуненої відносно кінетичної осі на деякий сталий кут, величина і напрямок якого визначається величиною і напрямком діючого момента сил.

Першій рух (вимушена прецесія) повністю визначається діючим моментом сил. Другий рух (нутаційні коливання) суттєво залежить від початкових значень екваторіальних складових кутової швидкості СЗГ. За відсутності руху осі фігури у просторі у початкову мить нутаційні коливання здійснюватимуться з амплітудою радіан.

Безрозмірна величина (2.24) є вельми малою для технічних гіроскопів і має велике значення для опису поводження гіроскопа. Зворотна до неї величина

має дуже простий фізичний зміст – це є кількість циклів нутації у одному циклі прецесії і визначає міру "швидкості" гіроскопа. Неважко впевнитися, що вона дорівнює відношенню частоти нутації до кутової швидкості прецесії :

.

Чим більше ця величина, тим гіроскоп вважається більш "швидким". Взагалі "швидким" можна вважати гіроскоп, у якого ця величина перевищує тисячу ( > 10³).

Неважко побачити, що поняття "швидкості" гіроскопа пов’язане не тільки з внутрішніми властивостями самого гіроскопа (його моментами інерції і кутовою швидкістю власного обертання), але й з величиною діючих на нього моментів зовнішніх сил. Той самий гіроскоп за одних величин моментів сил може вважатися "швидким", а за інших, значно більших, – ні.

Наприклад, Земля, яка вельми повільно обертається навколо осі полюсів (період – 1 сутки, кутова швидкість власного обертання – 7,39 10^-5 радіан в секунду), може вважатися вельми "швидким" гіроскопом. Дійсно, період нутації Землі, враховуючи наближену рівність її екваторіального і осьового моментів інерції, дорівнює 1 суткам, тобто 1/365 року. З іншого боку, найбільший діючий на Землю момент сил гравітаційного тяжіння, обумовлений екваторіальним потовщенням Землі, викликає прецесію осі власного обертання Землі у просторі з періодом, що складає приблизно 26 000 років. Тому

тобто майже 10 мільйонів.