Центр тяжести некоторых однородных тел и фигур.

1. Центр тяжести площади треугольника.

Разобьем треугольник на большое число узких полосок по высоте, которые можно рассматривать как прямоугольный отрезок. Следовательно, центр тяжести каждой такой полоски находится в середине. Но все эти точки будут расположены на медиане, следовательно, на этой же медиане лежит центр тяжести треугольника. Разбив треугольник прямыми, параллельными другой его стороне, на пересечении медиан получим центр тяжести С.

Центр тяжести площади треугольника лежит на пересечении его медиан на расстоянии 2/3 от вершины треугольника.

2)Центр тяжести площади многоугольника.

Разобьем многоугольник на несколько треугольников положение центра тяжести площадей которых известно.

; ; .

Для координат центр тяжести самого многоугольника: ;

Учитывая, что P=S, можно заменить Р через S в уравнении.

3. Ц ентр тяжести дуги окружности.

Поскольку дуга окружности симметрична, то центр тяжести будет лежать на радиусе, перпендикулярном хорде, стягивающей эту дугу. Текущая координата , длина элемента dl=Rd,

Длина дуги равна L=2R.

Окончательно получим - расстояние от точки О до точки С.

4. Ц ентр тяжести кругового сектора.

Разбивая сектор на бесконечное число малых треугольников получим линию их центров тяжести.

Считая, вся тяжесть сектора сосредоточена на линии этих центров, ищем Ц.Т. линии.

Получим . (Сектор симметричен оси х, значит Ц.Т. лежит на х.)

5. Центр тяжести объема пирамиды.

Разбивая пирамиду плоскостями параллельными основанию и граням, находим линии центров тяжести этих сечений. Путем необходимых геометрических построений , где АВ – линия центров тяжести секущих треугольников.

(Результат справедлив и для конуса).

Центр тяжести сложных фигур.

Простейший метод определения центра тяжести сложной фигуры: тело разбивают на части простейшей формы, центры тяжести которых могут быть легко определены. Считая, что веса отдельных частей сосредоточены в отдельных точках центра тяжести общий центр тяжести найдем: , , . (Р=V, следовательно Р заменяется на V)

Рассмотрим пример: Определить положение центра тяжести фигуры.

Положение С₁, С₂ и С₃ - на пересечении диагоналей координаты центров:

С₁: х₁=-1,5; у₁=4,5; A₁=1х3=3

С₂: х₂=0,5; у₂=3; A₂=4

С₃: х₃=1,5; у₃=0,5; A₃=3

Устойчивость равновесия

Условия равновесия: ; .

Различают три вида равновесия:

1. Устойчивое равновесие: Если тело, выведенное из положения равновесия некоторой силой, стремится вернутся в исходное положение после прекращения действия силы, то такое положение равновесия тела называется устойчивым.

2. Неустойчивое равновесие: Тело будет находится в неустойчивом равновесии, если выведенное из этого равновесия действием какой-нибудь силы, оно продолжает еще больше отклонятся от исходного равновесного положения.

3. Безразличное (индифферентное) равновесие: Такое равновесие, которое сохраняется при малом отклонении тела от первоначального положения, когда действие внешней силы прекращено.

Общее правило для определения равновесия:

П оложение является устойчивым, когда, Ц.Т. тела занимает низшее из возможных, положение, и неустойчивым, когда его Ц.Т. занимает наивысшее из возможных положение.

При отклонении тела, опирающегося на плоскость вокруг т.А, сила веса Р создает момент, возвращающий тело в исходное состояние:

Способность тела возвращаться к исходному состоянию равновесия после прекращения действия на него сил, нарушающих это равновесие, называется динамической устойчивостью этого тела. (автомобили и др.)

Для увеличения устойчивости центр тяжести стремятся снизить, а основание расширить.