Система сходящихся сил.

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке - называется системой сходящихся сил. Перенося силы по линии их действия представим её системой сил, приложенных в одной точке. Сложить две или несколько сил - это значит заменить их одной, эквивалентной силой - равнодействующей (геометрическое сложение). Из 3-ей аксиомы статики равнодействующая двух сил определяется по правилу параллелограмма: Равнодействующая равна диагонали параллелограмма сторонами которого, являются эти силы.

Из треугольника АДС на основании теоремы косинусов имеем:

Из этого же треугольника, применив теорему синусов, найдем углы:

.

Пусть необходимо сложить несколько сил, приложенных в точке А. Сложим сначала две первые силы F₁ и F₂. Из конца вектора F₁ отложим F₂ получим результирующую R₁. Затем из конца вектора R₁ отложим вектор F₃ получив результирующую R₂ и сложив её с F₄ получим полную результирующую R четырех сил F₁,F₂,F₃ и F₄.

Правило силового многоугольника. Равнодействующая нескольких сходящихся сил выражается по модулю и направлению вектором, соединяющим начальную и конечную точки ломаной линии, стороны которой последовательно представляют собой вектора данных сил. Линия действия равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия данных сил.

R =F_i

Если силы не лежат в одной плоскости, то и результирующая R, найденная последовательным сложением сил F₁, F₂, и F₃ по правилу параллелограмма, также не лежит в плоскости пар этих сил. Эта равнодействующая равна по модулю и направлению диагонали параллелепипеда, построенного на этих трёх силах - правило параллелепипеда.

Если все силы направлены по одной прямой, то модуль равнодействующей равен алгебраической сумме сил, одни из которых будут положительными, а другие отрицательными. Результирующая направлена по этой же прямой.

Разложение силы на составляющие.

Эта задача обратная той, что была рассмотрена выше. Она может оказаться неопределенной, т.к. имеется бесчисленное множество параллелограммов, для которых заданная сила будет диагональю. Чтобы задача стала определенной необходимо поставить дополнительные условия. Рассмотрим три случая.

1). Разложить силу по двум заданным направлениям (см. рис.4). Из конца вектора R провести прямые, параллельные этим направлениям до пересечения с ними.

2 ). Разложить силу на две в плоскости, имеющие заданные значения. Из начала и конца вектора точек А и В проводим окружности радиусами, численно равными заданным силам. Окружности пересекутся в двух точках. Отсюда видно, что задача имеет два решения.

3). Разложить силу по трем заданным направлениям, непараллельным одной плоскости (по трем перпендикулярным координатным осям). Необходимо построить на данной силе-диагонали такой параллелепипед, ребра которого имели бы заданное направление.

Р ассмотрим пример: в точке В соединения двух стержней подвешен груз весом G. Найти силы в каждом из стержней. Из теоремы синусов имеем:

и

Аналитический способ сложения сил.

Аналитический способ решения задач статики основан на понятии проекции силы на ось - алгебраической величине, равной произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Если угол острый, то проекция положительная, если угол тупой - то отрицательная. Сила перпендикулярна оси - проекция равна нулю. Для построения вектора силы должен быть известен её модуль и углы , , и  с осями. Координаты (x,y,z) начала вектора должны быть заданы отдельно.

При решении задач механики силу удобнее задавать её проекциями F_x ,F_y , F_z. Тогда модуль равен:

, а углы

Аналитическое решение сложения сил основывается на теореме:

Теорема: Проекция равнодействующей на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на эту ось. Следовательно:

, а углы .

Для плоской системы .

Рассмотрим пример. В точке А подвешен груз Р=1000 Н. Высота АО=100 мм. Точки В, С, и Д образуют равносторонний треугольник. Найти усилия, действующие на каждый из стержней. Поскольку пирамида равносторонняя, то угол между вертикалью и каждым ребром равен . Разложим силу Р по трем направлениям АВ, АД и АС . из треугольника ВОА .

Равновесие системы сходящихся сил.

Под равновесием понимается равномерное прямолинейное движение или не подвижное состояние тела.

Если тело находится под действием системы сил, то эту систему можно заменить равнодействующей. А чтобы тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы эта равнодействующая была равна нулю. Это необходимое и достаточное условие равновесия.

С геометрической точки зрения вектор равнодействующей R замыкает силовой многоугольник, построенный из векторов приложенных сил системы. Следовательно, для равновесия системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы, был замкнутым.

Аналитически модуль равнодействующей определяется выражением:

,

а чтобы тело находилось в равновесии, необходимо . Но это возможно в случае, когда , , .

Но , , . [1]

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из трёх координатных осей равнялась нулю.

Для плоской системы необходимо только два условия. Для практических расчетов может быть полезна теорема третьей аксиомы статики.

В большинстве задач статики по некоторым заданным силам, приложенным к телу, требуется определить неизвестные реакции связей, предполагая, что тело находится в равновесии. Для решения таких задач, если линии действия всех сил пересекаются в одной точке, необходимо воспользоваться полученными условиями в геометрической или аналитической форме: построением замкнутого силового многоугольника или составлением уравнений [1] в правой части которых кроме известных сил войдут и неизвестные реакции связей.

Рассмотрим пример. К балке АВ подвешен груз Р. ОА=l м, AB=L/3, весом балки пренебрегаем. Найти натяжение тяги N и реакцию R₀. Поскольку система находится в равновесии под действием трёх сил, а направление R₀ пока неизвестно, воспользуемся теоремой о трёх уравновешивающихся силах линии действия которых пересекаются в одной точке Д.

Графически задача решается теперь очень просто: из конца вектора Р проводим прямые, параллельные СД ОД на пересечении получим точку С, в которой сходятся искомые векторы N и R₀.

Аналитическое решение. Обозначим угол , тогда tg =DA/L ; tg=3D/L откуда tg=tg/3. Проецируем все силы на оси х и у.

1).

2).

Из 1) имеем из 2) получим . Заменим tg, получим . Из тригонометрии известно, что . Окончательно .

Тоже самое можно найти по тереме синусов из силового треугольника.