Общая постановка задачи дискретизации

В широком смысле под дискретизацией можно понимать представление непрерывного сигнала x(t) на интервале T совокупностью координат( )

,

где D - оператор дискретного представления сигнала.

Как уже знаем, оператор D можно назвать также анализатором перехода от временного представления к спектральному, а координаты {c_i} спектральными составляющими, определяемыми из соотношения

В более узком смысле под дискретизацией понимают преобразование функции непрерывного времени в функцию дискретного времени, представляемую совокупностью величин, называемых координатами:

.

Аналогично можно записать и операцию восстановления непрерывной функции по совокупности координат ( ) (воспроизводящей функцию), отображающей исходный сигнал с некоторой текущей погрешностью приближения

,

где В - оператор восстановления.

При одном и том же операторе дискретизации D для восстановления могут использоваться различные операторы В.

Сформулируем задачу дискретизации:

Для данной функции x(t), принадлежащей классу R функций, определенных на интервале [a,b], найти функцию P(t) или V(t), принадлежащую некоторому выбранному классу S, для которой число точек разбиения t_i отрезка [a,b] минимально и ε(t) < ε₀, где ε₀ – допустимое значение погрешности, ε(t) – оценка отклонения x(t) от P(t) или V(t)) в соответствии с принятым критерием.

Дискретизация сигналов Дискретные и цифровые сигналы

Любой сигнал, поступающий на вход вычислительного устройства, должен быть преобразован к виду, пригодному для цифровой обработки.

Процедуру дискретизации удобно рассматривать как умножение функции s(t)на вспомогательную периодическую последовательность y_T(t) достаточно коротких тактовых импульсов прямоугольной формы с длительностью τ₀ , малой по сравнению с периодом Т.

здесь - прямоугольный импульс с

Если одновременно с уменьшением увеличивать так, чтобы площадь импульса оставалось неизменной, то функция примут вид.

Отсюда

Тогда выражение ( ) переходит в

Отрезок времени между соседними выборками называют шагом дискретизации. Если то дискретизация считается равномерной.

Спектры дискретизированных сигналов

Важной характеристикой дискретизированного колебания является его спектр.

Наиболее просто определяется спектр дискретизированного колебания x(t), записанного в виде модулированной последовательности дельта-функций.

Если , то

,

где ;

– спектр исходного непрерывного сигнала.

Если , то

Огибающая спектра – спектральная плотность импульса П(t).

К ак следует из формулы, спектр дискретизованного сигнала представляет собой последовательность спектров исходного сигнала x(t), сдвинутых один относительно другого на и убывающих по закону …

Рис. 9. Преобразование Фурье аналогового сигнала (а), преобразование Фурье дискретного сигнала, полученного при периодической дискретизации; период дискретизации велик, и поэтому периодически повторяющиеся преобразования Фурье аналогового сигнала перекрываются (б); период дискретизации мал настолько, что периодически повторяющиеся преобразования Фурье аналогового сигнала не перекрываются (в)

На рис. 10 и 11. приведены примеры равномерной дискретизации аналоговых сигналов s₁(t) = exp(-a|t|) и s₂(t) = exp(-bt²) (дискретные отсчеты нанесены кружками) и спектры этих дискретных сигналов.

Рис. 10. Дискретные сигналы. Рис. 11. Спектры дискретных сигналов

Для того чтобы периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией аналогового сигнала, не изменяло спектр в главном частотном диапазоне (по отношению к спектру исходного аналогового сигнала), необходимо и достаточно, чтобы максимальные частотные составляющие f_max в спектре аналогового сигнала не превышали частоты Найквиста (f_max  f_N = F/2). Это означает, что частота дискретизации сигнала должна быть минимум в два раза выше максимальной частотной составляющей в спектре сигнала:

F = 1/t  2f_max, (7.2.5)

что обеспечивает выход спектра на нулевые значения на концах главного диапазона, как это имеет место для спектра S₂() на рис. 11.

Если условие (7.2.5) нарушается, искажения частотного спектра исходного аналогового сигнала неизбежны. На рис. 7.2.4 наглядно видно, что частота дискретизации для сигнала s₁(t) данному условию не удовлетворяет, спектры периодов перекрылись, и результирующий спектр дискретных отсчетов сигнала s₁(t) отличается от фактического спектра сигнала (фактический спектр и его периодические повторения в области перекрытия спектра главного частотного диапазона со спектрами боковых диапазонов показаны пунктиром). Аналоговый сигнал из спектра S₁() будет восстановлен с искажениями.

Устройства выборки и хранения

Устройство, выполняющие дискретизацию во времени, называют устройством выборки и хранения (УВХ) (Рис. 12). УВХ могут выпускаться в интегральном исполнении. Вид сигналов в точках 1, 2 и 3 УВХ показан, соответственно, на Рис.13, Рис.14 и Рис.15.

Рис. 12. Устройство выборки и хранения

Рис.13. Аналоговый сигнал

Рис. 14. Сигнал АИМ1

Рис. 15. Сигнал АИМ2

Методы дискретизации сигналов

Методы дискретизации и восстановления, можно разделить на несколько групп в зависимости от принятых признаков классификации.

Критерий оценки точности

Душин В.К. с.132

Базисные функции

На практике выбор типа базисных функций для дискретизации определяется в основном требованиями ограничения сложности устройства (дискретизаций и восстановлений).

В теоретическом плане весьма важны методы дискретизации обеспечивающее минимальное число координат при заданной погрешности воспроизведения. Их называют методами оптимальной или предельной дискретизации. Здесь наибольший интерес представляют системы ортогональных функций Карунена-Лоева-Пугачева(КЛП), используемые при сжатии данных. Однако выбор системы функций требует знания статистики второго порядка случайного процесса x(t), что не всегда возможно. К тому же техническая реализация получения координат трудоемка в виду сложности генерации ортогональных функций и большого количества арифметических операций, кроме того возникает задержка сигнала во времени. Поэтому на практике применение КЛП и других СБФ, использующих формулу

ограничено использованием лишь при высоком уровне импульсных помех. Последнее обусловлено тем, что вычисления связано с операцией интегрирования, что положительно сказывается на помехоустойчивости алгоритмов дискретизации.

Более широкое распространение получил метод, при котором сигнал x(t) заменяется совокупностью его выборок .

Применительно к этому случаю приведем структурную схему системы цифровой обработки непрерывных сигналов.

Здесь Д- дискретизатор (схема выборки и хранения СВХ)

ЦФ - цифровой фильтр.

СФ - сглаживающий фильтр

АЦП, ЦАП - а-ц и ц-а преобразователи.

Система ЦОС должна содержать устройство для преобразования аналогового сигнала в цифровой. Обычно такое устройство состоит из двух частей дискретизатора непрерывного сигнала времени и АЦП ,превращающего выборочные значения сигнала в числовую последовательность –код. Цифровой сигнал с выхода АЦП поступает в цифровой фильтр (ЦФ), где и происходит обработка по заданному алгоритму .Алгоритмы обработки сигнала могут быть очень разнообразными как по характеру, так и по степени сложности.

Примечание Наряду с ЦФ существует аналоговые устройства, которые могут производить обработку не квантованных дискретных сигналов по алгоритмам, аналогичным алгоритмам цифровой фильтрации. Такие устройства называют дискретными фильтрами. На вход ДФ можно подать дискретный сигнал, например, в виде АИМ-колебания, и этот сигнал может быть обработан в соответствие с заданным алгоритмом. Практическое применение ДФ ограниченно.

Сигнал на выходе ЦФ имеет вид последовательности чисел, представленных в некотором коде, например, коде ЭВМ. Для преобразования цифрового сигнала в аналоговый используют восстанавливающее устройство, состоящее из ЦАП и выходного сглаживающего фильтра.