Спектральное представление

Для повышения скорости выполнения операций по обработке информации в сочетании с высокой точностью и надежностью часто применяют переход от временного представления функций к их спектральному представлению.

Процессы в электрических цепях получаются тем сложнее, чем более сложной является форма сигналов. Иногда эта сложность затрудняет не только расчеты, но и понимание характера протекающих процессов. В этих случаях часто оказывается полезным использование понятие спектра сигнала.

Понятие спектра сигнала. Любой сигнал может быть представлен в виде суммы каких-либо сигналов другой формы, которые являются составляющими заданного сигнала. Например, последовательных биполярных импульсов может быть представлена как сумма двух составляющих – прямоугольных колебаний и

Совокупность составляющих заданной формы, образующих в сумме некоторый сигнал, называют спектром этого сигнала, а составляющая сигнала – его спектральными составляющими.

Обобщенный ряд Фурье. В теории и технике передачи аналоговых сообщений широко используется разложение непрерывных функций на интервале определения в ряд

(1)

При этом система функций называется базисной, а представление сигнала в виде (1) – его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом. Если сигнал является комплексным, то и коэффициенты также будут являться комплексными.

В общем случае ряд (1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. Для практических расчетов такой ряд обычно усекают до N-го члена ряда, и имеет место аппроксимация сигнала конечным рядом (1). Поэтому возникают задачи по выбору системы функций позволяющих технически просто получить набор коэффициентов и минимизирующих погрешность

при заданном N по какому-либо определенному критерию. Обычно в качестве критерия приближения используют среднеквадратическую погрешность

.

С этой точки зрения интерес представляют системы ортогональных функций Котельникова и Карунена-Лоева-Пугачёва (КЛП).

Для того, чтобы разложение сигнала в форме (1) было возможным, системы базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:

1. Быть упорядоченной системой линейно-независимых функций.

2. Быть полной для ортогональных функций, т.е. представлять в заданном базисе любой сигнал из заданного множества, любую реализацию случайного процесса удовлетворяющего условию (условие конечности энергии на интервале определения .

3. Число линейно-независимых функций в полной система должна быть равно размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. Когда рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их размерность бесконечно велика и в этом случае СБФ должна содержать также бесконечно большое число линейно независимых функций.

Наиболее удобно производить разложение сигналов, если базисная система является ортогональной на интервале определения сигнала :

Величина

называется нормой функции .

Норма функции имеет геометрический и физический смысл:

• геометрический – это длина вектора в пространстве сигналов

• физический – квадрат нормы функции равен энергии сигналов.

Интервал определения ортогональных БФ называется также интервалом ортогональности.

Представление сигналов с помощью ортогональных СБФ обладает тем важным свойством, что повышение порядка аппроксимируемого многочлена ( ) всегда улучшает аппроксимацию по сравнению с представлением сигналов неортогональных СБФ.

Система ортогональных функций называется также нормированной, если энергии всех базисных функций равны единице:

В этом случае СБФ называется ортонормированной. Любую систему линейно-независимых функций можно ортогонализировать и нормировать.

Примечание.

Если - случайный процесс, то - случайные величины. В общем случае они статистически зависимы, и эта связь задается матрицей коэффициентов корреляции . Математические ожидания коэффициентов разложения равны нулю.

Если выбраны также базисы функции, которые обеспечивают некоррелированность случайных величин , то разложение называют каноническим.

При представлении сигналов в форме (1) необходимо решить вопрос о способе вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть от принятого критерия сходимости (приближения). Для среднеквадратичного критерия коэффициенты С_n выбирают таким образом, чтобы СКП была минимальной. Умножив обе части уравнения (1) на , проинтегрировав в пределах и учтя ортогональность функций и , получим важное соотношение

(2)

Ряд (1), в котором коэффициенты С_n определены по данной формуле называются обобщенным рядом Фурье по данной системе . Совокупность коэффициентов называется спектром сигнала x(t) в ортогональной системе и полностью определяет этот сигнал.

Ответьте на вопросы:

1) Что означает “вычислить спектр функции x(t)”?

2) В каких координатах строится спектр?

Итак, представление непрерывных функций в форме (1) дает возможность представить x(t) в виде бесконечного, но счетного массива чисел . Кроме того, когда система , является полной, такое представление возможно в виде конечного множества чисел :

Как мы уже знаем, ортогональная система называется полной, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку

можно сделать сколь угодно малой.

Условие полноты можно записать в виде соотношения

Но , где Э – это энергия сигнала. Тогда