Геометрическое представление сигналов Множества сигналов

При графическом представлении сигналы изображаются сложной совокупностью точек, кривой в двумерном пространстве. В отличие от этого мы введем далее более сложные пространства – пространства сигналов, в которых каждый сигнал изображается простейшим элементом – точкой. В качестве первого шага в этом направлении рассмотрим сигнал как элемент множества S. Сам множество определяется некоторым свойством Р, которое есть утверждение, справедливое для любого элемента множества. Условно это изображается так

т.е. S есть множество всех x, для которых справедливо Р. Определив свойство Р, мы задаем тем самым множество сигналов.

Приведем несколько примеров, с которыми часто имеют дело в теории сигналов:

Гармонические сигналы

Утверждение означает, что эти параметры могут произвольно выбираться из множества действительных чисел R. Поэтому содержит гармонические колебания со всевозможными амплитудами, фазами и частотами.

Периодические сигналы

Будем обозначать через множество периодических сигналов с периодом Т, т.е.

Ограниченные сигналы

Множество сигналов, мгновенные значения которых ограничены по величине некоторым вещественным положительным числом К, обозначается

Сигналы с ограниченной энергией

О сигналах из множества

говорят, что их энергия ограничена величиной U, где U – положительное вещественное число.

Сигналы ограниченной длительности

Пусть это множество сигналов, которые равны нулю за пределами интервала времени

Сигналы с ограниченной полосой

Пусть множество сигналов с полосой, ограниченной некоторой частотой w, т.е.

где X(f) есть преобразования Фурье от функции времени x(t).

Объединив сигналы, обладающие некоторым общим свойством в одно множество, мы начинаем интересоваться отличительными особенностями отдельных элементов этого множества. Конкретные сигналы представляют интерес лишь в отношении с другими сигналами множества. То есть, мы можем интересоваться энергией, длительностью, частотой изменения, числом пересечения нулевого уровня и т.д. данного сигнала по сравнению с другими.

Общий подход, который и интуитивно кажется подходящим для обозначения различия между двумя элементами множества, состоит в том, что каждой паре элементов ставится в соответствие действительное положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами, при этом само множество приобретает геометрические свойства. Множество, с подходящим образом определенным расстоянием, представляет собой пространство сигналов.

Пространство сигналов

При математическом описании сигналы удобно рассматривать как точки или векторы в некотором функциональном пространстве (ФП) – пространстве сигналов, преобразования сигналов – как отображение в этом пространстве, а свойства сигналов – как свойства пространства. Наиболее простой является трактовка сигналов как элементов нормированного, линейного, метрического пространства.

Метрическим называется пространство, в котором определено расстояние между элементами пространства; условия:

Аналитическая запись матрицы зависит от вида пространства, типа сигналов (дискретные или непрерывные) и формы их представления (временные или спектральные), т.е. всего 2*2=4.

Понятие «расстояние» в теории сигналов используется для оценки отличия одного сигнала от другого или для трактовки погрешности представления одного сигнала другим.

Метрика имеет явный физический смысл – пропорциональна энергии разности двух сигналов

Множество, наделенное структурой, называется пространством, а метрика и есть структура пространства.

Линейным или векторным называется пространство, удовлетворяющее следующим условиям:

Векторным пространством называется множество S элементов, в которых определены две операции:

1. сложение

2. умножение на действительное число.

Обозначения векторного пространства: .

Элементы линейного пространства называются векторами. Вектор b, представляемый суммированием нескольких векторов со скалярным произведением называется линейной комбинацией

Множество векторов { } называется линейно-независимым, если при всех

Нормированным называется линейное пространство, в котором определена норма векторов, геометрически эквивалентная длине вектора.

Иными словами, нормированное пространство – это линейное векторное пространство, в котором для любого элемента определена норма.

Норма – это действительное число, характеризующее «размер» элемента в линейном пространстве. Норма обозначается .

Норма вектора обозначается как || a ||, и удовлетворяет следующим условиям:

Поскольку норма удовлетворяет условию метрики d, ее можно использовать в качестве метрики

А формулы устанавливают связь нормы с метрикой и скалярным произведением.

Таким образом, линейное векторное пространство можно сделать нормированным метрическим. Такое пространство называется евклидовым, если число измерений N конечно, или гильбертовым, если число N бесконечно.

В линейное векторное пространство вводят важную характеристику – скалярное произведение двух векторов . Под ним понимают число, способ вычисления которого обладает следующим свойствами:

Здесь * означает комплексно-сопряженную величину.

Для векторов и с координатами и скалярное произведение в N-мерном пространстве задано в виде:

(для ортонормированного базиса)

а для дискретных сигналов, заданных отсчетами

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то векторы называются ортогональными. Если все попарные скалярные произведения векторов равны 0, то они линейно-независимы, и могут быть использованы как базисы.

Скалярное произведение называют иногда также внутренним произведением. Важным следствием из определения скалярного произведения является то, что величина

есть норма в линейном пространстве.

Характеристика пространства	Евклидово пространство	Гильбертово пространство
Метрика
Скалярное произведение
Норма
Линейная комбинация