4.2. Блокові коди та особливості їх дослідження

Блокове кодування, як вказувалось вище, належить до надлишкового кодування. Даний тип кодування характеризується трьома основними параметрами:

• k - кількістю інформаційних бітів;

• кількістю надлишкових (n-k) бітів, в результаті яких формується кодований сигнал з надлишковістю;

• t - кількістю помилкових бітів (серед n бітів) які даний код може виправити.

При використанні блокових кодів виникає ряд проблем. Варіантів кодів наявна дуже велика кількість, а відповідь про те, чи підходить вибраний варіант для забезпечення заданих технічних вимог можна отримати тільки після проведення складних розрахунків.

В табл.4.1 приведені дані деяких видів кодів БХЧ

Таблиця 4.1

Дані про деякі коди БХЧ

n	k(t)
7	4(1)
15	11(1), 7 (2), 5 (3)
31	26(1), 21(2), 16(3), 11 (5), 6(7)
63	57(1), 51(2), 45(3), 39 (4), 36(5), 30(6), 24(7), 18(10), 16 (11), 10 (13), 7(15)
127	120(1), 113(2), 106(3), 99 (4), 92(5), 85(6), 78(7), 71(9), 64(10), 57 (11), 50(13), 43(14), 36(15), 29(21), 22(23), 15(27), 8(31)
255	247(1) … 9(63) (всього 33 види )

Примітка. Дані коди при t=1 також відомі як коди Хемінга

Для даних кодів значення n визначаються на основі декого числа m (табл. 4.2).

В табл. 4.2 також приведені приклали реалізації кодів Хемінга та Голея.

Таблиця 4.2

Основні дані блочних кодів

№ п/п		Хемінга	Голея (розш.)	БХЧ
1	m	2, 3,…		3, 4,..
2	n	2m-1	24	2m-1
3	k	2m-1 –m	12
4	t	1	3
5	Приклад реалізації	7(4), 15(11)	24(12)	табл.3.1
6	Залежність Pb(Pbk)

Особливу увагу (рис.4.4) слід приділити залежностям P_d(P_bk), приведеним в табл. 4.2.

а) б) в)

Рис. 4.4. Зміна значень P_b при застосуванні канального кодування

Для наявного (рис.4.4,а) в каналі сигналу з ймовірністю появи бітових помилок Р_b (наприклад, модульованого сигналу) в результаті застосування кодування отримуємо кодований сигнал P_bk (рис.4.4,б), для якого ймовірність помилок навіть може збільшуватись, P_bk > Р_b. І лише на завершальному етапі при декодуванні згідно залежності P_d(P_bk) отримуємо сигнал P_d (рис.4.4,в) для якого виконується умова P_d< P_b.

Надлишкове кодування оцінюється коефіцієнтом ефективності кодування. Отже, при заданому значенні P_b ефективність кодування G визначається як зменшення E_b/N_o, яке досягається при застосуванні кодування:

(4.1)

де (E_b/N_o)_нк, (E_b/N_o)_к – необхідні (при P_b=const) значення E_b/N_o без кодування та з кодуванням, відповідно.

При синтезі систем з використанням надлишкового кодування виникають дві основні проблеми:

• серед використовуваних кодів необхідно визначити та відкинути з подальшого розгляду ті види, які саме в даному конкретному випадку не можуть забезпечити поставлені технічні вимоги;

• серед залишених видів вибрати ті, які не тільки можуть виконати поставлені вимоги, але забезпечують при цьому синтез ефективних систем безпровідного зв'язку.

Вище вказувалось, що блокове кодування вимагає надлишковості в кількості передаваних бітів. Але при цьому вимагається збільшення швидкості передавання (за той самий час необхідно передати значно більшу кількість бітів), що приводить до вимоги збільшення необхідної смуги частот В, яку реально використовує система в H=n/k разів. Тому в системі, для здійснення канального кодування, наявна смуга частот В_ном повинна бути надлишковою (порівняно з смугою частот В_с, необхідною для функціонування системи), причому повинна виконуватись наступна умова:

(4.2)

На основі перевірки виконання умови (4.2) можна відкинути ті варіанти, які не задовільняють поставленим технічним вимогам. Але тільки кодів БХЧ наявні більше сотні варіантів, тому вибір при синтезі методом простого перебору не являється ефективним. Крім того, умова (4.2) може не виконуватись в різній мірі: бракує декілька відсотків, або декілька десятків відсотків. Так як синтез ефективних систем являється в значній мірі вибором компромісів, тому доцільна наявність інформації про ті варіанти, для яких бракує декілька відсотків та приймати відносно них компромісні рішення.

Тому доцільний наступний підхід до вибору кодів та оцінки можливих компромісів, щодо смуги пропускання (рис.4.5)

А А

Рис.4.5. Вибір кодів БХЧ та можливих компромісів щодо смуги пропускання

З приведених даних видно, що наприклад при Н=В_ном/В_с=1.25 умові (4.2) задовільняють ті варіанти значень k для кодів БХЧ, які знаходяться нижче прямої Н=n/k =1.25. Але для деяких варіантів (точки А на рис.4.5) можливий компроміс, тому відкидати їх на початковому етапі синтезу недоцільно.

Далі, серед залишених варіантів кодування необхідно вибрати ті, які доцільно використовувати для ефективних систем. На рис.4.6, для прикладу, приведена залежність P_b у випадку некодованого (н/к) передавання та застосування коду кодів БХЧ при n=31.

Приведені характеристики для модуляції BPSK з використанням кодування (степінь кодування, H=n/k) отримані на основі розв’язування системи інтегральних рівнянь (4.3)

P_d P_bk

Рис.4.6. Залежність P_b для BPSK модуляції при некодованому передаванні та використанні кодів БХЧ при n=31: 26(1), 21(2), 16(3), 11 (5), 6(7)

(4.3)

На рис. 4.6, для порівняння, також приведені дані для BPSK модуляції при відсутності кодування. Вище даної залежності приведено допоміжні значення (P_bk, рис.4.3), а нижче даної залежності приведено основні значення P_d, для досягнення яких застосовується кодування. З приведених даних видно, що застосування кодування дозволяє забезпечити задане значення P_b при меншому відношенні E_b/N_o (порівняно з некодованим передаванням), що актуально для систем з обмеженою потужністю. Але при виборі виду кодування для ефективних систем необхідно порівнювати та аналізувати (в області аналізу значень P_d, рис.4.6) значення E_b/N_o (наприклад, при (P_b)_ном=10^-6) для багатьох варіантів. Враховуючи значну кількість видів кодування (Голея, БХЧ, Ріда-Соломона, Хемінга і т.д.) та варіантів для кожного з видів, таке порівняння (рис.4.6) являється трудомістким та ненаглядним. Згадані недоліки залежностей для значення P_b, представлених у виді (рис.4.6) при синтезі реальних систем за заданим значенням, наприклад P_{b ном} =10^-6, пов’язані з тим, що вони містять надлишковість відносно різних значень P_b (адже навіщо в даному випадку інформація про інші значення P_b, крім P_{b ном} =10^-6).

При синтезі завдання ускладнюється, що вибір необхідного коду не допускає вирішення в явному виді, а лише чисельні розв’язування системи інтгральних рівнянь (4.4). Тобто можна вибрати певні коди проробити всі необхідні розрахунки та отримати результат, який не відповідає поставленим вимогам. Наприклад, необхідно забезпечити P_b=(P_b)_ном=10^-6 при наявності відношення E_b/N_o = 6дБ та використання BPSK модуляції, яка без застосування завадозахисного кодування не забезпечує поставлені вимоги. На рис.4.6. приведено результати вибору кодів приведених в табл. 4.1. при n=31 (26(1), 21(2), 16(3), 11 (5), 6(7).

З приведених характеристик можна зробити висновки: вибрані види завадозахисного кодування не можуть забезпечити поставлених вимог, причому для отримання від’ємного результату необхідно провести непрості розрахунки для отримання даних залежностей; труднощі порівняння різних видів завадозахисного кодування, в зв'язку з тим, що їх характеристики близькі між собою; невідомо, які коди вибрати на наступному етапі та чи взагалі дані вимоги можна забезпечити.

Усунути дані проблеми можна на основі застосування узагальнених характеристик кодування. В даному випадку сімейство характеристик (рис.4.5) замінюється однією узагальненою характеристикою.

Також при застосуванні та порівнянні модуляцій з різними видами кодування доцільно використовувати нормований показник ефективності кодування:

при P_b=(P_b)_ном (4. 4)

де h_nk – показник ефективності (1.7,б), при P_b=(P_b)_ном, для модуляції без застосування кодування, (E_b/N_o)_k – значення E_b/N_o для кодованої модуляції, необхідне для забезпечення умови P_b=(P_b)_ном, n та k – параметри кодування.