Розділ 5 Параметр у ролі рівноправної змінної

В окремих прикладах, коли перетворення виразу відносно основної змінної може викликати певні затруднення, вдається продовжити пошук розв’язку, вважаючи основною змінною сам параметр. У цей момент змінна, відносно якої розв’язується рівняння або нерівність, сама перетворюється у свого роду параметр. Наведемо приклади, в яких використано такий підхід.

Приклад 1. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі

,

або

.

Третє рівняння системи запишемо у виді та розв’яжемо його як квадратне відносно змінної . Маємо , звідки дістаємо два рівняння та з коренями при та при . Корінь не задовольняє умову . Для кореня умови та виконуються при . Корені задовольняють вказані умови при .

Зауважимо, що для перевірки умови не обов’язково підставляти знайдені значення у дане співвідношення. Оскільки для коренів отриманих квадратних рівнянь виконуються рівності та , то корені достатньо перевірити на виконання умови , а корені - на виконання умови .

Відповідь. при . При та . При інших розв’язків нема.

Приклад 2. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Запишемо нерівність у виді та розкладемо її ліву частину на множники, розглядаючи, як квадратну відносно змінної . Корені відповідного квадратного рівняння дістаємо у виді . Таким чином, вихідна нерівність може бути записана у виді . Рівняння при умові має корені . Якщо , то вираз буде завжди додатній і нерівність матиме розв’язки .

Тепер дослідимо, як на числовій осі розташовані числа , та . Оскільки , то . Рівняння має єдиний корінь , тому при виконується нерівність , а при - нерівність . При маємо . Залишилося скористатись методом інтервалів у випадках , та , .

Відповідь. при , при , при .

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. При рівняння має єдиний корінь . Нехай . Помножимо рівняння на і, ввівши заміну , запишемо його у виді та розв’яжемо, як квадратне відносно змінної . Дістаємо , звідки отримуємо два квадратні рівняння відносно змінної : та . Перше з них має корені при умові , а друге , якщо . Повертаючись до заміни, отримуємо при та , при .

Відповідь. та при , при , при . При розв’язків нема.

Приклад 4. При яких значеннях параметра нерівність виконується при будь-якому ?

Розв’язання. Природно, що для дослідження вказаного в умові задачі випадку достатньо накласти на дискримінант квадратної відносно змінної нерівності вимогу . Ми виберемо інший підхід. Перетворивши задану нерівності до виду , бачимо, що вона виконується для довільних значень та .

Відповідь. .

Приклад 5. При яких значеннях параметра рівняння має цілі розв’язки?

Розв’язання. Розглядаючи дане рівняння як квадратне відносно змінної , дістаємо, що його корені існують, якщо . Одержану умову задовольняють цілі значення та , у чому можна переконатися, зобразивши, наприклад, графіки функцій та . Відповідними до знайдених будуть значення параметра із множини .

Відповідь. .

Приклад 6. При яких значеннях параметра рівняння має цілі розв’язки?

Розв’язання. Нехай та - цілі корені рівняння. Тоді за теоремою Вієта , . Рівність запишемо у виді , звідки випливає. що або . При дістаємо , а при .

Відповідь. або .

П риклад 7. Визначити значення параметра , при яких рівняння має розв’язки та встановити, коли відстань між коренями найбільша.

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у виді . У прямокутній системі координат воно визначає коло з центром у точці , радіус якого 3. Із рисунка 1 видно, що прямі мають з колом спільні точки тільки при . Абсциси цих спільних точок є коренями заданого рівняння, а відстань між коренями дорівнює довжині хорди кола. Очевидно, що її найбільше значення 6 буде тоді, коли пряма проходить через центр кола, тобто при .

Відповідь. Корені існують при . При відстань між коренями найбільша і дорівнює 6.

Приклад 8. Відомо, що рівняння має корені. Довести, що вони належать відрізку .

Розв’язання. Нехай значення є коренем рівняння. Тоді знайдеться пара , для якої виконується рівність . Розглядаючи дану рівність як квадратну відносно , вимагаємо, щоб її дискримінант був невід’ємним. Отримуємо , звідки .

Наведемо інший розв’язок даної задачі. Запишемо задане рівняння у виді

,

звідки зрозуміло, що рівність можлива тільки при умові .

Приклад 9. Яка частина площини покрита кругами ?

Розв’язання. Перепишемо задану нерівність у виді . Точка буде покрита хоч одним кругом, якщо знайдеться значення , при якому одержана нерівність має розв’язки. Це можливо, якщо дискримінант квадратного тричлена невід’ємний, тобто . Спрощуючи одержане співвідношення, дістаємо .

Відповідь. Частина площини , для точок якої виконується нерівність , тобто область, обмежена двома вітками гіперболи , яка не містить початок координат та точок самої гіперболи.

Приклад 10. Яка частина площини не покрита жодною із парабол ?

Розв’язання. Точка координатної площини не покрита жодною з парабол, якщо рівняння при заданих та не має розв’язків відносно . Тому дискримінант квадратного рівняння від’ємний. Дістаємо , звідки .

Відповідь. Множина точок, розташованих нижче від параболи .