Завдання для самостійного розв’язання.

1. При яких значеннях параметра система

має додатні розв’язки?

2. При яких значеннях параметра система

має більше, ніж один розв’язок?

3. При яких значеннях система

має розв’язки?

4. При яких значеннях система

має розв’язки?

5. Знайти найменше значення параметра , при якому система

має розв’язки?

6. Знайти найбільше значення параметра , при якому система

має єдиний розв’язок.

7. Знайти найбільше ціле значення параметра , при якому система

має єдиний розв’язок.

8. Знайти найменше значення параметра , при якому система

має єдиний розв’язок.

9. При якому максимальному значенні параметра система

має розв’язок?

10. При якому максимальному значенні параметра система нерівностей

не має розв’язків?

11. При яких значеннях параметра система

має рівно два розв’язки?

12. При яких значеннях параметра система

має розв’язки?

13. При яких значеннях параметра система нерівностей

не має розв’язків?

14. Знайти всі значення параметра , при яких розв’язки системи

утворюють відрізок, довжина якого менша 1.

15. Знайти всі значення параметра , при яких система

має єдиний розв’язок.

16. При яких значеннях параметра система

має розв’язки? Знайти ці розв’язки.

17. Розв’язати систему рівнянь

.

18. При яких цілих значеннях параметра система

має розв’язки, для яких ?

19. При яких значеннях параметра парабола та кола мають дві спільні точки?

20. При яких значеннях параметра має розв’язки система нерівностей

?

21. Скільки розв’язків має система рівнянь

у залежності від параметра а?

22. При яких значеннях параметра система

має єдиний розв’язок?

23. Розв’язати систему рівнянь .

24. При яких значеннях параметра система рівнянь

має чотири різні розв’язки?

25. При яких значеннях параметра система рівнянь

має єдиний розв’язок?

Розділ 9 Різні задачі

У попередніх розділах ми розглянули деякі методи та прийоми розв’язування задач з параметрами. Зрозуміло, що поза нашою увагою залишилося багато вправ як із іншими постановками умов, так і з спеціальними методами відшукання розв’язків. Нижче ми пропонуємо ряд таких задач.

Приклад 1. Обчислити значення виразу

при (параметри приймають значення, які не рівні між собою).

Довести тотожності

, ,

,

.

Розв’язання. Даний вираз являє собою многочлен третього степеня, який, як легко бачити, у чотирьох точках та приймає однакове значення 1. Тому він тотожно рівний 1. Тотожності випливають із рівності коефіцієнтів многочленів біля однакових степенів .

Відповідь. 1.

Приклад 2. Розв’язати нерівність .

Р озв’язання. Насамперед зауважимо, що при та виконується нерівність , а при - нерівність . Це дає можливість зобразити графік функції

,

який допомагає зробити процес розв’язування більш наглядним (на рис. 1 він зображений жирнішою лінією). Тепер очевидно, що при та потрібно розв’язувати нерівність . При розв’язки належать інтервалу , а при розв’язки одержуємо у виді нерівностей та , де - корені рівнянь та відповідно (останній випадок зображено на рисунку).

Відповідь. при та , при та , якщо .

П риклад 3. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання. Графік лівої частини зображено жирнішою лінією на рисунку 2 і складається з частини графіка прямої , розглянутого на проміжку _, та експоненти , зображеної на промені . Пряма перетинає пряму у точці з абсцисою та графік при у точці з абсцисою . Користуючись рисунком, записуємо розв’язки.

Відповідь. при , , якщо . Для інших значень розв’язків нема.

Приклад 4. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Графік лівої частини являє собою промінь на проміжку та синусоїду при . При пряма перетинає тільки промінь, при на від’ємній півосі перетинає промінь, а на додатній перетинає або дотикається до синусоїди. При дана пряма перетинає тільки синусоїду або дотикається до неї.

Відповідь. при ; та при ; , якщо . При розв’язків нема.

Приклад 5. Знайти найменше значення виразу .

Розв’язання. Розглянемо на координатній площині точки та . Геометрично перший радикал у заданому виразі виражає довжину відрізка , а другий - довжину відрізка . Сума цих відрізків буде найменшою у тоді і тільки тоді, коли точка належить відрізку . У цьому випадку .

Відповідь. .

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

.

Розв’язання. Розглянемо на координатній площині точки та . Тоді перший радикал виражає довжину відрізка , а другий - довжину відрізка . Оскільки сума цих відрізків , то точка належить відрізку , а її координати задовольняють рівняння відрізка , тобто рівняння , де . Таким чином, початкова система рівносильна мішаній системі

.

Перші два рівняння дозволяють, скориставшись теоремою Вієта, скласти квадратне рівняння , корені якого є розв’язками системи при умові, що вони існують та належать відрізку . Із сукупності нерівностей дістаємо , або , звідки .

Відповідь. , при , при . Для інших значеннях розв’язків нема.

Приклад 7. При яких значеннях параметра а вираз приймає найменше значення, якщо змінні та задовольняють умову ? Знайти це мінімальне значення.

Розв’язання. Введемо у розгляд точки та . На мові геометрії поставлена задача означає, що на колі потрібно знайти таку точку , щоб сума довжин відрізків була мінімальною. Такою точкою є точка перетину кола із відрізком або їх точка дотику. Оскільки пряма проходить від центра кола на відстані , а радіус кола рівний , то мінімальне значення заданого виразу дорівнює =5, якщо .

Відповідь. Мінімальне значення 5 досягається при .

Приклад 8. Знайти мінімальне значення виразу , якщо змінні та задовольняють умову .

Розв’язання. Розглянемо відрізок, кінці якого знаходяться у точках та , а також довільну точку . Очевидно, що

, .

Якщо пряма перетинає відрізок , то мінімальне значення виразу досягається у їхній спільній точці і воно буде дорівнювати довжині відрізка . Цей випадок буде реалізовуватися при . Якщо ж пряма та відрізок не мають спільних точок, то мінімальне значення виразу досягається у точці перетину прямої із прямою , де точка симетрична до точки відносно прямої (рис. 2). Справді, у цьому випадку і для різних положень точки його довжина найменша. Тепер послідовно знаходимо , .

Відповідь. При мінімальне значення , для інших значень воно дорівнює .

Приклад 9. Сума кількох послідовних натуральних чисел дорівнює 1280. Знайти ці числа.

Розв’язання. Нехай . Тоді . Легко бачити, що числа та різної парності. Оскільки , то у випадку, коли множник непарний, тобто якщо , дістаємо , звідки . Якщо ж число парне, тобто , то рівність неможлива.

Відповідь. 1280=254+255+256+257+258.

Приклад 10. При яких натуральних значеннях параметра числа та є одночасно простими?

Розв’язання. Розглянемо випадки та . Серед чисел виду простим є число 3. Разом із ним простими є інші два числа, задані в умові задачі – це числа 17 та 41. При дістаємо число , яке ділиться на 3 і не є простим. При маємо . Серед таких чисел простих теж немає.

Відповідь. .

Приклад 11. При яких значеннях параметра існує єдина пара цілих чисел та , які задовольняють рівняння та систему нерівностей ?

Розв’язання. Запишемо початкове рівняння у виді . Оскільки згідно з умовою числа та цілі, то можливі чотири випадки:

, , та .

Розв’язуючи одержані системи, дістаємо чотири цілочисельні розв’язки , , та . Умові задовольняють тільки два із них: та . Тепер встановимо, при яких виконується тільки одна із нерівностей , . Розв’язавши нерівності і знайшовши перетин інтервалів та , отримуємо відповідь.

Відповідь. .

Приклад 12. При яких значеннях параметра а рівняння має більше додатних коренів, ніж від’ємних?

Розв’язання. Насамперед зауважимо, що якщо рівняння має корені, то вони розташовані симетрично відносно точки , тобто мають вид . Виходячи із цих міркувань, можна стверджувати, що додатних коренів буде більше ніж від’ємних тільки при . Вважаючи, що виконується ця умова, введемо заміну . Рівняння має корені та . При дістаємо рівняння із коренями . Число додатне, а корінь буде невід’ємним при умові . У випадку маємо , звідки . Число додатне, а корінь буде невід’ємним при . Таким чином, при рівняння має один додатний корінь та один корінь, який дорівнює 0, а при всі чотири корені додатні.

Відповідь. .

Приклад 13. Корені рівняння є натуральними числами. Довести, що є складеним числом.

Розв’язання. Нехай - корені заданого рівняння. Тоді, оскільки , то . Залишається зауважити, що обидва множники більші від 1.