Вивчення властивостей гіперболи за канонічними рівнянням.

1. Написати рівняння множини точок, для кожної з яких модуль різниці відстаней від точок і дорівнює 9.

2. Знайти довжини півосей і координати фокусів наступних гіпербол:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

3. Знайти площу прямокутника, вершини якого лежать на гіперболі , а дві сторони проходять через фокуси паралельно осі

4. Написати канонічне рівняння гіперболи, якщо:

1. відстань між вершинами гіперболи 6 а між фокусами 8;

2. дійсна піввісь 4, і гіпербола проходить через точку з координатами ;

3. велика вісь дорівнює 10, а ексцентриситет ;

4. відстань між фокусами 8, а уявна(мала) вісь дорівнює 4.

5. Скласти рівняння гіперболи в канонічній системі координат, якщо:

1. гіпербола проходить через точки і ;

2. гіпербола проходить через точку і має ексцентриситет ;

3. гіпербола проходить через точку і його мала піввісь дорівнює 3.

6. Знайти точки перетину прямої і гіперболи .

7. Знайти точки перетину прямої і гіперболи .

8. Задано рівносторонню гіперболу . Знайти спів фокусну гіперболу, яка проходить через точку .

9. Знайти кут між асимптотами, якщо:

1. ексцентриситет дорівнює 2;

2. ексцентриситет дорівнює ;

3. Ексцентриситет дорівнює ;

4. відстань між фокусами вдвічі більша відстані від точки до односторонньої з фокусом директриси.

10. Написати рівняння дотичної до гіперболи , які проходять через точку: 1) , 2) , 3) .

11. Знайти рівняння дотичної до гіперболи , яка

1) паралельна до прямої ,

2) паралельна до прямої ,

3) перпендикулярна до прямої .

12. Побудуйте лінію в прямокутній декартовій системі координат, знайдіть її центр, ексцентриситет, асимптоти: .

13. Вибравши на площині прямокутну декартову систему координат, зобразіть область задану наступними системами:

14. Знайти рівняння дотичної до гіперболи , яка проходить через точку .

15. Знайти рівняння дотичної до гіперболи , в точці .

16. Написати канонічне рівняння двох спряжених гіпербол, якщо відомо, що відстань між директрисами першої з них дорівнює , а відстань між директрисами другої - .

17. Прямі є директрисами гіперболи, ексцентриситет якої . Знайти на гіперболі точки в яких фокусні радіуси, що проведені з правого фокуса, дорівнюють 9.

18. На гіперболі , вибрано точку, абсциса якої 10, а ордината додатна. Знайти кут між фокусними радіусами цієї точки.

19. На гіперболі знайти точку фокусні радіус-вектори якої взаємно перпендикулярні.

20. На гіперболі , вибрано точку . Скласти рівняння прямих, які містять фокусні радіуси цієї точки.

21. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомо рівняння її асимптот , і рівняння дотичної .

22. Пряма дотична до гіперболи в точці . Знайдіть рівняння цієї гіперболи.

23. Доведіть, що дотичні до гіперболи утворюють з асимптотами рівновеликі трикутники.

24. Доведіть, що коли еліпс і гіпербола мають спільні фокуси, то вони перетинаються під прямим кутом, тобто дотичні до еліпса і до гіперболи в точці їх перетину взаємно перпендикулярні.

25. Довести, що добуток відстаней від довільної дотичної до гіперболи, до фокусів гіперболи є величина стала.

26. Довести, що відрізок довільної дотичної до гіперболи, який міститься між асимптотами, ділиться в точці дотику навпіл.

27. Довести, що директриса гіперболи проходять через основу перпендикуляра, проведеного з відповідного фокуса на асимптоту гіперболи.

28. Довести, що відстань від фокуса гіперболи до її асимптот дорівнює .

29. Скласти рівняння такої хорди гіперболи , яка точкою ділиться навпіл.

30. Знайти множину центрів кіл, які дотикаються до двох фіксованих кіл, розташованих зовні одне від іншого.

31. Обчисліть довжини півосей, відстань між фокусами та кут між асимптотами гіперболи, заданої в полярній системі координат рівнянням . Вважаємо, що за полюс прийнято фокус , а за полярну вісь – направлену пряму , де – інший фокус гіперболи.

32. Знайдіть канонічні рівняння гіпербол, заданих в полярній системі координат рівняннями: , .

33. Знайдіть рівняння гіпербол і , в полярній системі координат, якщо полюс розміщено в правому фокусі , а за полярну вісь прийнято направлену пряму , де – інший фокус гіперболи. А також знайдіть полярне рівняння асимптот і директрис заданих гіпербол.