Вивчення властивостей еліпса за канонічним рівнянням

1. Знайти рівняння множини точок площини для кожної з яких сума відстаней до і рівна 8.

2. Знайти рівняння множини точок площини для кожної з яких сума відстаней до і рівна 12.

3. Знайти рівняння множини точок площини для кожної з яких сума відстаней до і рівна 15.

4. Задано еліпс, в якого відстані від правого фокуса до кінців великої осі відповідно дорівнюють 1 і 7. Скласти рівняння еліпса.

5. Довжина великої осі еліпса 8 ексцентриситет еліпса , відстань від деякої точки еліпса до його правого фокуса 3. Знайдіть координати точки , відстань від до лівого фокуса, канонічне рівняння еліпса.

6. Побудуйте лінію в прямокутній декартовій системі координат, знайдіть її центр, ексцентриситет, фокуси : .

7. В кожному з наступних випадків знайдіть канонічне рівняння еліпса: 1) ; 2) і 3) і .

8. Знайти довжини півосей, координати вершин, фокусів, ексцентриситет, зобразити лінію в декартовій системі координат: 1) . 2) . 3) . 4) .

9. Через фокус проведена хорда еліпса паралельно канонічній осі . Знайдіть довжину цієї хорди.

10. На еліпсі знайти точку фокусні радіус-вектори якої взаємно перпендикулярні.

11. Хорда проведена через фокус паралельно канонічній осі перетинає еліпс в точках і . Знайдіть відстань від. і .до .

12. Знайти канонічне рівняння еліпса, фокусами якого є точки та , а велика піввісь .

13. Написати канонічне рівняння еліпса, якщо:

1. задано вершини еліпса , , і ;

2. відстань між фокусами дорівнює 8, а ексцентриситет ;

3. велика вісь дорівнює 26, а ексцентриситет ;

4. відстань між фокусами 8, а велика вісь дорівнює 12.

14. Скласти рівняння еліпса в канонічній системі координат, якщо:

1. еліпс проходить через точку і відстань між фокусами дорівнює 6;

2. еліпс проходить через точку і має ексцентриситет ;

3. еліпс проходить через точку і його мала піввісь дорівнює 3.

15. Задано еліпс . Знайти рівняння директрис.

16. Знайти відстань між директрисами еліпса .

17. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо:

1. прямі – його директриси, а мала піввісь дорівнює 2;

2. відстань між директрисами , а між фокусами ;

3. відстань між директрисами , а ексцентриситет .

18. Ексцентриситет еліпса , відстань від точки еліпса до директриси дорівнює 12. Знайти відстань від до відповідного фокуса.

19. Скласти рівняння дотичної до еліпса в точці .

20. Скласти рівняння тих дотичних до еліпса , які паралельні прямій .

21. Знайти точки перетину прямої з еліпсом .

22. Знайти точки перетину прямої з еліпсом .

23. Визначити взаємне розміщення прямої і еліпса:

1. і ;

2. і ;

3. і .

24. Провести до еліпса дотичні, перпендикулярні прямій .

25. Вибравши на площині прямокутну декартову систему координат, зобразіть область задану наступними системами:

26. Скласти рівняння дотичних до еліпса , які проходять через точку .

27. Знайти рівняння прямої яка проходить через точку , на якій еліпс відтинає хорду, яка точкою ділиться навпіл.

28. Доведіть, що відрізок дотичної до еліпса, розташований між дотичними, проведеними в вершинах, які лежать на великій осі, видно з фокусів еліпса під прямим кутом.

29. Доведіть, що добуток відстаней від фокусів до довільної дотичної до еліпса є величина стала і дорівнює квадрату малої півосі.

30. Обчисліть довжини півосей і відстань між фокусами еліпса, заданого в полярній системі координат рівнянням . Вважаємо, що за полюс прийнято фокус , а за полярну вісь – направлену пряму , де – інший фокус еліпса.

31. Знайдіть канонічні рівняння еліпсів, заданих в полярній системі координат рівняннями: , .

32. Знайдіть рівняння еліпсів і , в полярній системі координат, якщо полюс розміщено в фокусі , а за полярну вісь прийнято направлену пряму , де – інший фокус еліпса.