7. Обобщенные координаты и подвижность механизма

Число степеней свободы твердого тела, свободно движущегося в пространстве, можно характеризовать количеством независимых координат, определяющих его положение. Эти координаты принято называть обобщенными.

Аналогично, обобщенными координатами механизма называют независимые координаты, определяющие положения всех звеньев механизма относительно стойки.

Число обобщенных координат механизма определяет его подвижность и равно числу степеней свободы.

8. Подвижность механизмов, определяемая через кинематические пары и подвижные звенья

Пусть исследуемый механизм находится в пространстве, которое допускает П видов простейших независимых перемещений и содержит n подвижных звеньев. Тогда его подвижность может быть определена по формуле:

                            ,                      (1.1)

где р_i – число кинематических пар i-й подвижности; i – 1, 2,...,5.

Итак, чтобы определить подвижность исследуемого механизма по (1.1), необходимо найти:

 общее число, исключая повторяющиеся, возможных простейших перемещений подвижных звеньев механизма и элементов кинематических пар или, что одно и то же, определить подвижность П пространства, в котором существует исследуемый механизм;

 число подвижных звеньев n;

 число и подвижность кинематических пар, входящих в механизм.

Для механизмов, существующих в шестиподвижном пространстве (П = 6), которые в литературе принято называть пространственными, выражение (1.1) принимает вид хорошо известной формулы Сомова-Малышева

W = 6n– 5p₁– 4p₂ – 3p₃ – 2p₄ – p₅ . (1.2)

Для механизмов, существующих в трехподвижном пространстве (П = 3), выражение (1.1) принимает вид формулы Чебышева

W = 3n – 2p₁ – p₂ . (1.3)

Видно, что (1.2) и (1.3) получены из (1.1) и являются её частным случаем.

9. Подвижность механизмов, выраженная через число кинематических пар и количество независимых замкнутых контуров

Найдем выражение для определения подвижности механизмов через число независимых контуров k. Независимым будем считать такой контур, который отличается от других, по крайней мере, одним звеном или одной кинематической парой. Контур образуется в результате мысленного проведения непрерывной линии по звеньям и кинематическим парам механизма от одного присоединения к стойке (закрепления к подвижному звену) к другому с обязательным возвратом в исходное положение.

Раскроем понятие независимого контура на примере механизма, показанного на рис. 1.6.

Рис. 1.6. Зубчато-рычажный механизм:

1, 2, ..., 7 – подвижные звенья; A, B, ..., N – кинематические пары

Из рис. 1.6 видно, что исследуемый сложный зубчато-рычаж-ный механизм состоит из трех простых, а именно: зубчатого ABC, представляющего собой коническую зубчатую передачу; шарнирного четырехзвенника CDFN, кривошип которого жестко связан с зубчатым колесом 2; кривошипно-ползунного EGLM, закрепленного на звеньях 3 и 4.

Найдем число независимых замкнутых контуров k в этом механизме.

В соответствии с определением в механизме по рис. 1.6 мож-но мысленно провести следующие замкнутые контуры: ABCA, заме-тим, что линия этого мысленного замкнутого контура лежит не в плоскости чертежа, а в пространстве, так как часть своего пути прохо-дит перпендикулярно плоскости чертежа, а именно, от вала 1 по ра-диусу шестерен 1 и 2 и стойке; CDFNC; CDEGMLNC; EFLMGE.

Итак, в исследуемом механизме можно провести четыре контура, но независимыми, в которые уже войдут все кинематические пары и звенья механизма, из них будут только три. Это либо контуры ABCA, CDFNC; CDEGMLNC, либо контуры ABCA, CDFNC; EFLMGE. Значит, исследуемый механизм имеет три независимых замкнутых контура (k = 3).

Заметим, что простые механизмы с незамкнутыми кинематическими цепями не имеют независимых замкнутых контуров, т. е. у них k = 0.

Выразим подвижность через число независимых замкнутых контуров.

Пусть исследуемый механизм существует в пространстве, кото-рое допускает П видов простейших независимых перемещений и со-держит k независимых контуров. Тогда подвижность механизмов, существующих в любом пространстве, можно определить как

. (1.4)

Чтобы воспользоваться (1.4) при исследовании структуры механизма, необходимо знать число независимых контуров, которые он включает в себя.

Найдем выражение для определения k, для чего приравняем правые части (1.1) и (1.4) и после ряда преобразований получим

k = p – n, (1.5)

где – общее число кинематических пар в механизме.

Следует отметить, что, поскольку при выводе (1.5) использовались формулы для определения подвижности механизмов, существующих в любом пространстве, выражение (1.5) справедливо для любых как простых, так и сложных механизмов, в том числе полученных путем соединения механизмов, существующих в различных пространствах и поверхностях (плоскостях).