13. Подвижность элементарных механизмов

Элементарные механизмы представляют собой механизмы с незамкнутой кинематической цепью. Элементарный механизм имеет одну кинематическую пару, и его подвижность W_эм определится

W_эм = ip_i. (1.7)

14. Механизмы с незамкнутыми кинематическими цепями

Отметим, что отличительной особенностью механизмов с незамкнутой кинематической цепью является то, что у них число независимых замкнутых контуров равно нулю (k = 0). Значит, в этих механизмах, так как k = p – n, число кинематических пар равно числу подвижных звеньев.

С учетом сказанного выше подвижность механизмов с незамкнутой кинематической цепью определится по формуле (1.4), которая с учетом того, что k = 0, примет вид

. (1.8)

Из (1.8) следует, что при определении подвижности механизмов с незамкнутыми кинематическими цепями нет необходимости определять подвижность пространства, в котором они существуют.

15. Пример определения подвижности комбинированного механизма

На рис. 1.11 представлен механизм, который состоит из следующих простых механизмов: кривошипно-ползунного (АВСD); клинового (DЕF); подвижного механизма манипуляторов с разомкнутыми кинематическими цепями (KLMО) и (PTQ); с переменной структурой (ABNRS).

Подвижность комбинированных механизмов должна определяться по (1.6).

Из (1.6) следует, что определить подвижность этого комбинированного механизма можно, если известны подвижности всех простых с замкнутыми и незамкнутыми кинематическими цепями механизмов, входящих в его состав.

Подвижность механизмов (KLMО) и (PTQ) с незамкнутыми кинематическими цепями равна пяти и шести соответственно, а у остальных – единице.

Рис. 1.11. Комбинированный механизм:

1, 2 ... 14 – подвижные звенья; A, B ... S –кинематические пары;

У – упор; П – полка

Из рис. 1.11 видно, что звено 1 входит в следующие простые механизмы: кривошипно-ползунный (ABСD); клиновой механизм (DEF). Значит, звено 1 является звеном закрепления и для него К₁ = 2.

Звено 3 является общим для простых механизмов: с переменной структурой (ABNRS); кривошипно-шатунного (ABDC). Следовательно, это звено также является звеном закрепления и для него К₃ = 2.

Механизмы (KOLMО) и (PTQ) относятся к механизмам с незамкнутыми кинематическими цепями, которые закреплены на подвижных звеньях 6 и 7. Подвижность этих манипуляторов должна определяться относительно звеньев 6 и 7, а значит, эти звенья являются звеньями закрепления.

Определив подвижность простых с незамкнутыми и замк-нутыми кинематическими цепями механизмов, входящих в состав комбинированного механизма (1.6.), найдем подвижность анализируемого механизма

W = 1 + 1 + 1 + 5 + 6 – (2 – 1) – (2 – 1) = 12.

16. Структурный синтез простых и сложных однотипных механизмов с использованием структурных групп

Наиболее распространенным в настоящее время методом создания механизмов с замкнутыми кинематическими цепями является метод присоединения к элементарным механизмам структурных групп или групп Ассура.

Кинематические цепи, обладающие нулевой подвижностью относительно внешних кинематических пар и не распадающиеся на более простые цепи, удовлетворяющие этому условию, получили название структурных групп или групп Ассура.

Структурные группы не влияют на подвижность механизма. Они только изменяют его структуру и законы движения звеньев.

Число независимых контуров и количественную связь между числом кинематических пар и звеньев, входящих в структурную группу, можно установить с помощью структурных формул (1.1) и (1.4). Так как по определению подвижность структурных групп равна нулю, то (1.1) и (1.4) для структурных групп примут следующий вид:

;

(1.9)

Анализ (1.8) и (1.9) показывает, что они тождественно равны между собой.

Распишем, например, (1.8) для одно-, двух-, ... , шестиподвижных пространств. В результате получим следующие условия существования структурных групп в различных пространствах:

n = 0; (1.10)

2n – p₁ = 0; (1.11)

3n – 2p₁ – p₂ = 0; (1.12)

4n – 3p₁ – 2p₂ – p₃ = 0; (1.13)

5n – 4p₁ – 3p₂ – 2p₃ – p₄ = 0; (1.14)

6n – 5p₁ – 4p₂ – 3p₃ – 2p₄ – p₅ = 0. (1.15)

Из (1.10) следует, что в одноподвижном пространстве структурные группы существовать не могут, а это означает, что в одноподвижном пространстве механизмы не могут иметь замкнутых кинематических цепей, т.е. в таком пространстве могут существовать только механизмы с незамкнутыми кинематическими цепями.

Рис. 1.12. Структурная единица клинового механизма:

2 – звено; C, B – кинематические пары

Из (1.11) следует, что простейшей структурной группой (структурной единицей) является монада, которая состоит из одного звена и двух кинематических пар. На рис. 1.12 приведена в качестве примера структурная единица (монада), существующая в двухподвижном пространстве, которая используется для образования клинового механизма.

В соответствии с (1.11) эта монада имеет одно звено 2 и две внешние кинематические пары C и B, которыми она затем присоединяется к стойке и звену 1 элементарного механизма (рис. 1.12). В результате этого образуется клиновой механизм.

На рис. 1.13,а показана монада, существующая в трехподвижном пространстве, на основе которой работают зубчатые механизмы. В соответствии с (1.12) эта монада должна иметь одно звено, одну одноподвижную и одну двухподвижную кинематические пары.

Рис. 1.13. Структурная единица и механизм, существующие в трехподвижном пространстве:

а – структурная единица; б – механизм; A, C – вращательная

кинематическая пара; В – высшая двухподвижная

кинематическая пара; 1 – звено элементарного механизма;

2 – структурная единица

Присоединив эту монаду к элементарному механизму, получим простой механизм (рис. 1.13,б), который является аналогом зубчатого.

Структурная группа, существующая в трехподвижном пространстве и имеющая только одноподвижные кинематические пары, в соответствии с (1.12) должна состоять из двух звеньев и трех одноподвижных кинематических пар. Эта группа носит название диады Сильвестра или двухповодковой группы и показана на рис. 1.14,а.

Если двухповодковую группу связать шарнирами В и D со стойкой, то получим элементарную статически определимую ферму (рис. 1.14,б). Присоединяя эту группу к одному неподвижному и одному или двум подвижным звеньям 1 и 4 элементарных механизмов, получим простой механизм с одной (рис. 1.14,в) или двумя (рис. 1.14,г) степенями свободы.

Из (1.11), ..., (1.15) следует, что для каждого пространства можно синтезировать множество различных структурных групп. Синтез структурных групп производят непосредственно из решений уравнений (1.11),...,(1.15).

Например, из (1.12) следует, что в состав структурных групп, су-ществующих в трехподвижном пространстве, могут входить как одно- так и двухподвижные (высшие и низшие) кинематические пары.

Рис. 1.14. Двухповодковая структурная группа и простые

механизмы на ее основе:

а – диада Сильвестра; – статически определимая ферма;

в – одноподвижный четырехзвенник; г – двухподвижный

пятизвенник; 1, 2,3,4 – подвижные звенья;  

A,B,СD,Е – кинематические пары

Известно, что все входящие в механизм высшие двухподвижные кинематические пары могут быть заменены на низшие одноподвижные. Полученные таким образом механизмы называют заменяющими, и они полностью в рассматриваемый момент времени эквивалентны первоначальным, но содержат только низшие одноподвижные кинематические пары. Поэтому при решении вопроса об образовании структурных групп механизмов, существующих в трехподвижном пространстве, уравнение (1.12) можно переписать в виде

3n – 2p₁ = 0, (1.16)

откуда

p₁ = 1,5 n. (1.17)

n	2	4	6	8	....
p1	3	6	9	12	....

Так как число звеньев и кинематических пар может быть только целым числом, то условию (1.17) могут удовлетворять только следующие числа звеньев и кинематических пар, входящих в структурную группу.

Первое из этих сочетаний реализуется в рассмотренной выше диаде Сильвестра (рис. 1.14,а).

Второе сочетание чисел звеньев (n = 4) и кинематических пар (p₁ = 6) позволяет реализовать две структурные группы. Эти группы показаны на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Структурные группы, содержащие n = 4 и p₁ = 6:

а – структурная группа с тремя внешними кинематическими парами;

б – структурная группа с двумя внешними кинематическими парами

В случае присоединения структурных групп, показанных на рис. 1.15,а,б, к элементарным механизмам и стойке образуются следующие простые механизмы (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Простые механизмы:

а – механизм с тремя присоединениями к стойке;

б – механизм с двумя присоединениями к стойке

Заметим, что в механизме (рис. 1.16,а) в зависимости от выбора начального звена можно выделить две или одну структурные группы. Действительно, если в качестве начального зве- на выбрать звено 1, то структурная группа будет иметь вид, изображенный на рис. 1.15,а. Однако если при анализе механизма (рис. 1.16,а) за начальное звено взять звено, например 5, то можно выделить две двухповодковые структурные группы (рис. 1.17).

Рис. 1.17. Образование механизма с помощью двух двухповодковых

структурных групп

Отсюда следует вывод, что при структурном анализе механизмов вид выделяемых в нем структурных групп может зависеть от выбора начального звена.