1.1. Парная регрессия

1.1.1. Расчетные формулы

1.1.1.1. Оценки коэффициентов однофакторной регрессионной модели

, ,

где

, , , ,

– независимая переменная, – зависимая переменная, – число элементов выборочной совокупности.

1.1.1.2. Коэффициент корреляции

,

где , – среднеквадратические ошибки, вычисляемые по формулам

, .

1.1.1.3. Коэффициент детерминации

.

1.1.1.4. Дисперсионное отношение Фишера (F-критерий)

,

где – расчетное значение зависимой переменной (например, для случая линейной однофакторной модели ), – число элементов выборочной совокупности, – число факторов.

1.1.1.5. Стандартные ошибки параметров линейной регрессии

, ,

где – остаточная дисперсия, рассчитываемая по формуле

.

1.1.1.6. t-статистики Стьюдента

, .

1.1.1.7. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии

, ,

где , – предельные ошибки, рассчитываемые по формулам

, ,

– табличное значение t-статистики.

1.1.1.8. Индекс корреляции

.

1.1.1.9. Усредненное значение коэффициента эластичности

.

1.1.1.10. Доверительные интервалы прогноза

,

где – период упреждения, .

1.1.2. Решение типовой задачи

Задание 1.1.2.1. ОАО «ЮВЖД» вынуждено периодически повышать цены на свои услуги. То, что повышение цен явно негативным образом влияет на число пассажиров, пользующихся услугами железной дороги, можно понять, проанализировав, в частности, данные табл. 1.1.2.1.

Т а б л и ц а 1.1.2.1

Стоимость проезда 1 чел. в поезде Воронеж - Москва, руб.	Среднемесячное число пассажиров поезда Воронеж-Москва	Стоимость проезда 1 чел. в поезде Воронеж - Москва, руб.	Среднемесячное число пассажиров поезда Воронеж-Москва
180	12390	460	11460
180	12600	460	11010
230	11910	460	10620
230	11940	575	9690
230	11580	575	9510
345	11730	685	9870
345	11490	685	8910
345	11400	685	8580

Несмотря на это, руководство «ЮВЖД» планирует в следующем периоде поднять цены на билеты для пассажиров поезда Воронеж – Москва. В связи с этим было решено поручить студенту экономического факультета, проходящего практику в отделе экономического анализа управления юго-восточной железной дороги, известным ему методом спрогнозировать среднемесячное число пассажиров поезда при условии, что билет на этот поезд будет стоить 690 руб. Студент-практикант решил применить к имеющимся данным регрессионный анализ и, воспользовавшись его результатами, получить требуемую прогнозную оценку.

Решение с помощью MS Excel

1. Ввод исходных данных.

2. Подготовка данных для расчета оценок коэффициентов линейной регрессии и оформление их в виде табл. 1.1.2.2.

Т а б л и ц а 1.1.2.2

№ п.п.
1.	180	12390	32400	2230200	153512100
2.	180	12600	32400	2268000	158760000
3.	230	11910	52900	2739300	141848100
4.	230	11940	52900	2746200	142563600
5.	230	11580	52900	2663400	134096400
6.	345	11730	119025	4046850	137592900
7.	345	11490	119025	3964050	132020100
8.	345	11400	119025	3933000	129960000
9.	460	11460	211600	5271600	131331600
10.	460	11010	211600	5064600	121220100
11.	460	10620	211600	4885200	112784400
12.	575	9690	330625	5571750	93896100
13.	575	9510	330625	5468250	90440100
14.	685	9870	469225	6760950	97416900
15.	685	8910	469225	6103350	79388100
16.	685	8580	469225	5877300	73616400
Средние значения	416,88	10918,13	205268,75	4349625,00	120652931,25

3. Расчет оценок коэффициентов регрессии

, .

Таким образом, построенная модель может быть записана в виде

.

Коэффициент этой модели показывает, что в среднем увеличение стоимости проезда на 1 руб. приводит к уменьшению числа пассажиров на 6 человек.

4. Расчет коэффициентов корреляции и детерминации

; ;

; .

Коэффициент корреляции достаточно высокий, что свидетельствует о существенной зависимости среднемесячного числа пассажиров от стоимости проезда. Коэффициент детерминации также достаточно высокий, он показывает, что число пассажиров объясняется стоимостью проезда на 89%.

5. Расчет дисперсионного отношения Фишера

.

Сравнение расчетного значения F-критерия с табличным для 95%-го уровня значимости (см. Приложение) позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.

6. Расчет стандартных ошибок по формулам (1.1.1.5), в которых используется средняя квадратическая ошибка , вычисленная в соответствии с данными табл. 1.1.2.3.

Т а б л и ц а 1.1.2.3

№ п.п.
1.	180	12390	12436,92	2201,04
2.	180	12600	12436,92	26596,64
3.	230	11910	12116,33	42570,52
4.	230	11940	12116,33	31090,95
5.	230	11580	12116,33	287645,85
6.	345	11730	11378,97	123220,91
7.	345	11490	11378,97	12327,30
8.	345	11400	11378,97	442,19
9.	460	11460	10641,62	669750,71
10.	460	11010	10641,62	135706,02
11.	460	10620	10641,62	467,30
12.	575	9690	9904,26	45908,38
13.	575	9510	9904,26	155442,84
14.	685	9870	9198,97	450285,72
15.	685	8910	9198,97	83501,74
16.	685	8580	9198,97	383119,74
				2450277,85
				418,35

, .

7. Расчет t-статистик Стьюдента

, .

Сравнение расчетных значений с табличным (см. Приложение) подтверждает значимость коэффициентов регрессии.

8. Расчет доверительных границ для коэффициентов регрессии

, ,

; ;

; .

9. Построение линейного уравнения регрессии и расчет всех его характеристик с помощью пакета «Анализ данных» Excel. Для этого сначала необходимо проверить доступ к пакету анализа (см. рис. 1.1.2.1), а затем выполнить действия по построению регрессионного уравнения (см. рис. 1.1.2.2). Результат применения инструмента «Регрессия» представлен на рис. 1.1.2.3.

Р и с. 1.1.2.1. Подключение надстройки Пакет анализа

10. Получение прогнозной оценки числа пассажиров

.

11. Расчет доверительных границ прогнозной оценки

,

.

Р и с. 1.1.2.2. Построение регрессионного уравнения

с помощью пакета «Анализ данных» MS Excel

Р и с. 1.1.2.3. Результат применения инструмента «Регрессия»