3.2. Автокоррелированность остатков
3.2.1. Расчетные формулы
3.2.1.1. Критерий Дарбина – Уотсона
.
3.2.1.2. Коэффициент автокорреляции
.
3.2.1.3. Процедура устранения автокорреляции предполагает следующее преобразование исходных данных:
,
,
где
такое,
что
.
Матрица
представляет
собой корень
квадратный из матрицы, обратной к
ковариационной матрице остатков
,
и имеет вид
.
3.2.2. Решение с помощью Excel
Задание 3.2.2.1. Госпожа Арешникова В.В., президент компании «Преслава», собрала данные о месячных объемах продаж своей компании ( , тыс. руб.) вместе с несколькими другими показателями, как она полагала, способными оказывать влияние на объем продаж. В качестве этих показателей ею были выбраны расходы на рекламу ( , тыс. руб.) и индекс потребительских расходов ( , %). Собранные госпожой Алешниковой В.В. данные представлены в табл. 3.2.2.1. Требуется оценить степень взаимосвязи между этими показателями, построив соответствующее линейное уравнение регрессии. Для построенного уравнения следует проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках. В случае подтверждения этой гипотезы необходимо оценить параметры регрессии обобщенным МНК и получить прогнозную оценку объема продаж на следующий месяц при условии того, что расходы на рекламу составят 7,9 тыс. руб., а индекс потребительских расходов возрастет до 114,9 %.
Т а б л и ц а 3.2.2.1
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
252 |
4,0 |
97,9 |
10 |
734 |
14,6 |
109,2 |
2 |
274 |
5,8 |
98,4 |
11 |
642 |
10,2 |
110,1 |
3 |
296 |
4,6 |
101,2 |
12 |
614 |
8,5 |
110,7 |
4 |
382 |
6,7 |
103,5 |
13 |
662 |
6,2 |
110,3 |
5 |
548 |
8,7 |
104,1 |
14 |
690 |
8,4 |
111,8 |
6 |
740 |
8,2 |
107 |
15 |
728 |
8,1 |
112,3 |
7 |
764 |
9,7 |
107,4 |
16 |
768 |
6,9 |
112,9 |
8 |
790 |
12,7 |
108,5 |
17 |
791 |
7,5 |
113,1 |
9 |
734 |
13,5 |
108,3 |
18 |
832 |
7,7 |
113,4 |
Решение с помощью Excel
1.
Ввод исходных данных с включением в
модель дополнительной переменной
,
принимающей единственное значение,
равное 1.
2. Нахождение вектора оценок коэффициентов регрессии с использованием матричных функций Excel (МУМНОЖ, ТРАНСП, МОБР)
.
3.
Расчет остатков
.
Вычисление разностей
и оформление промежуточных результатов
в виде табл.
3.2.2.2.
Т а б л и ц а 3.2.2.2
|
|
|
|
|
|
|
-1- |
-2- |
-3- |
-4- |
-5- |
-6- |
-7- |
1 |
252 |
1 |
4 |
97,9 |
234,74 |
17,26 |
2 |
274 |
1 |
5,8 |
98,4 |
286,43 |
-12,43 |
О к о н ч а н и е т а б л. 3.2.2.2
-1- |
-2- |
-3- |
-4- |
-5- |
-6- |
-7- |
3 |
296 |
1 |
4,6 |
101,2 |
346,93 |
-50,93 |
4 |
382 |
1 |
6,7 |
103,5 |
459,27 |
-77,27 |
5 |
548 |
1 |
8,7 |
104,1 |
518,06 |
29,94 |
6 |
740 |
1 |
8,2 |
107 |
595,80 |
144,20 |
7 |
764 |
1 |
9,7 |
107,4 |
638,37 |
125,63 |
8 |
790 |
1 |
12,7 |
108,5 |
732,62 |
57,38 |
9 |
734 |
1 |
13,5 |
108,3 |
742,80 |
-8,80 |
10 |
734 |
1 |
14,6 |
109,2 |
792,40 |
-58,40 |
11 |
642 |
1 |
10,2 |
110,1 |
730,35 |
-88,35 |
12 |
614 |
1 |
8,5 |
110,7 |
714,02 |
-100,02 |
13 |
662 |
1 |
6,2 |
110,3 |
655,21 |
6,79 |
14 |
690 |
1 |
8,4 |
111,8 |
745,33 |
-55,33 |
15 |
728 |
1 |
8,1 |
112,3 |
754,39 |
-26,39 |
16 |
768 |
1 |
6,9 |
112,9 |
748,21 |
19,79 |
17 |
791 |
1 |
7,5 |
113,1 |
766,46 |
24,54 |
18 |
832 |
1 |
7,7 |
113,4 |
779,61 |
52,39 |
Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках
5.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием критерия Дарбина – Уотсона.
Вычисление
и
.
Оформление результатов расчетов в
виде табл. 3.2.2.3.
Т а б л и ц а 3.2.2.3
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
298,00 |
|
10 |
3411,10 |
2460,98 |
|||
2 |
154,61 |
881,91 |
11 |
7806,06 |
896,84 |
|||
3 |
2593,94 |
1481,98 |
12 |
10004,50 |
136,20 |
|||
4 |
5970,72 |
693,78 |
13 |
46,17 |
11409,94 |
|||
5 |
896,49 |
11494,40 |
14 |
3061,38 |
3859,45 |
|||
6 |
20794,50 |
13055,69 |
15 |
696,56 |
837,36 |
|||
7 |
15782,21 |
345,06 |
16 |
391,48 |
2132,44 |
|||
8 |
3292,91 |
4657,16 |
17 |
602,38 |
22,63 |
|||
9 |
77,38 |
4379,83 |
18 |
2744,81 |
775,49 |
|||
|
Сумма |
78625,21 |
59521,14 |
|||||
5.1.2. Расчет статистики Дарбина – Уотсона
=59521,14 / 78625,21= 0,757.
Так
как
,
т.е.
,
то существует положительная автокорреляция
остатков.
Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием метода рядов.
Последовательное определение знаков отклонений позволяет получить следующие ряды:
(+) (– – –) (+ + + +) (– – – –) (+) (– –) ( + + +)
и сделать вывод о присутствии автокорреляции в остатках.
Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках с использованием графического представления зависимости остатков от времени (рис. 3.2.2.1).
Р и с. 3.2.2.1. График зависимости остатков от времени
Анализ построенного графика показывает, что изменение остатков подчиняется некоторой закономерности и можно сделать вывод о том, что они автокоррелированы.
Наличие
автокорреляции означает, что
,
т.е. не выполняются предположения
классического регрессионного анализа,
и, следовательно, можно найти более
эффективную оценку, чем
.
6. Преобразование исходных данных.
6.1.
Оценка параметра
.
6.1.1.
Вычисление
и оформление
результатов расчетов в виде табл.
3.2.2.4.
Т а б л и ц а 3.2.2.4
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
17,26 |
298,00 |
|
10 |
-58,40 |
3411,10 |
513,75 |
2 |
-12,43 |
154,61 |
-214,65 |
11 |
-88,35 |
7806,06 |
5160,16 |
3 |
-50,93 |
2593,94 |
633,29 |
12 |
-100,02 |
10004,50 |
8837,18 |
4 |
-77,27 |
5970,72 |
3935,44 |
13 |
6,79 |
46,17 |
-679,63 |
5 |
29,94 |
896,49 |
-2313,59 |
14 |
-55,33 |
3061,38 |
-375,95 |
6 |
144,20 |
20794,50 |
4317,65 |
15 |
-26,39 |
696,56 |
1460,29 |
7 |
125,63 |
15782,21 |
18115,83 |
16 |
19,79 |
391,48 |
-522,20 |
8 |
57,38 |
3292,91 |
7208,98 |
17 |
24,54 |
602,38 |
485,61 |
9 |
-8,80 |
77,38 |
-504,77 |
18 |
52,39 |
2744,81 |
1285,85 |
|
Сумма |
78625,21 |
47343,24 |
||||
6.1.2. Вычисление коэффициента автокорреляции
= 47343,24 / 78625,21 = 0,6021.
6.2. Преобразование исходных данных по формулам (3.2.1.3) и оформление результатов расчетов в виде табл. 3.2.2.5.
Т а б л и ц а 3.2.2.5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
201,19 |
0,80 |
3,19 |
78,16 |
10 |
292,03 |
0,40 |
6,47 |
43,99 |
2 |
122,26 |
0,40 |
3,39 |
39,45 |
11 |
200,03 |
0,40 |
1,41 |
44,35 |
3 |
131,01 |
0,40 |
1,11 |
41,95 |
12 |
227,43 |
0,40 |
2,36 |
44,40 |
4 |
203,77 |
0,40 |
3,93 |
42,56 |
13 |
292,29 |
0,40 |
1,08 |
43,64 |
5 |
317,98 |
0,40 |
4,67 |
41,78 |
14 |
291,38 |
0,40 |
4,67 |
45,38 |
6 |
410,03 |
0,40 |
2,96 |
44,32 |
15 |
312,52 |
0,40 |
3,04 |
44,98 |
7 |
318,42 |
0,40 |
4,76 |
42,97 |
16 |
329,64 |
0,40 |
2,02 |
45,28 |
8 |
329,97 |
0,40 |
6,86 |
43,83 |
17 |
328,56 |
0,40 |
3,35 |
45,12 |
9 |
258,31 |
0,40 |
5,85 |
42,97 |
18 |
355,71 |
0,40 |
3,18 |
45,30 |
7.
Оценка с помощью
обычного МНК вектора коэффициентов
регрессии
с использованием матричных функций
Excel
.
8. Нахождение прогнозной оценки объема продаж на следующий период
при
и с учетом того, что
коррелированно с
предыдущим значением в выборочном
периоде
815,79+0,60
(832 – 796,96) = 836,89.