1.2 Дифференциальные уравнения переноса массы и энергии

Составим систему основных урав­нений для пограничного слоя газа с жидкостью. Будем считать газ однофазной гомогенной средой и бинарной газопаровой сме­сью, состоящей из сухого газа и пара той жидкости, с которой он непосредственно контактирует. В отличие от нее поток газо­жидкостной смеси в целом является двухфазной гетерогенной средой. Но он разделен на области, занятые только газом или только жидкостью, и для этих областей составляются уравнения переноса типа уравнения (1.3). В соответствии с этим уравне­нием запишем уравнение переноса массы (уравнение диффузии) сначала для одного компонента – сухого газа, а затем для дру­гого компонента – пара – в следующем виде:

(1.4)

(1.5)

Так как массосодержание газа в парогазовой смеси ρ_г.о = ρ_г/ρ и пара ρ_п.о = =ρ_п/ρ составляют в сумме единицу, их суб­станциональные производные равны по абсолютному значению и противоположны по знаку. Поэтому при сложении левых частей уравнений (1.4), (1.5) получим нуль, при сложении правых ча­стей – дивергенцию результирующего потока массы:

(1.6)

С учетом гипотезы Фика при отсутствии или малости эффек­тов термо- и бародиффузии уравнение (1-6) можно записать так:

(1.7)

где d = ρ_п /ρ_г – абсолютное влагосодержание газа.

Полученная зависимость имеет вид дифференциального урав­нения теплопроводности твердой стенки при стационарном ре­жиме. Такое уравнение путем замены переменной d на выражение

(1.8)

приводится к уравнению Лапласа при любой зависимости ρ_гD = R (d):

(1.9)

Коэффициент диффузии для пары контактирующих сред зависит от температуры и давления. Давление в пограничном слое в процессах тепло- и массообмена можно считать постоянным. Температуру и плотность газа однозначно определяет его влагосодержание при постоянной энтальпии. Таким образом, преоб­разование, приводящее к уравнению (1.9), может быть выполне­но. Распределение потенциалов в пограничном слое может быть – получено точно путем решения уравнения (1.9), подстановки этого решения U = f(x, y, z) в уравнение (1.8) и решения последнего относительно влагосодержания d.

Однако при расчете процессов тепло- и массообмена в кон­тактных аппаратах достаточно решить более простую задачу: определить потоки переносимых субстанций (масса и теплота) и их потенциалы (влагосодержание и температура) на границах пограничного слоя. Как известно, для уравнений типа (1.7) точное решение такой задачи может быть получено по формулам, в ко­торых физические параметры сред приняты постоянными, рав­ными среднеинтегральным значениям в рассматриваемом диапа­зоне потенциалов. Тогда уравнение (1.7) приобретает вид уравнения Лапласа:

(1.10)

Аналогичное уравнение переноса массы можно составить для потока жидкости. В этом случае переносимым компонентом будет не пар, а газ. Во многих случаях растворимость газа в жидкости, его концентрация мала по сравнению с концентрацией пара. В дальнейшем будем рассматривать именно такие случаи и огра­ничимся только уравнениями для потока газа.

Для математического описания поля температур служит урав­нение переноса энергии – уравнение теплопроводности. Для ана­логичной уравнениям (1.4), (1.5) формы записи выразим кон­центрацию энергии смеси газа и пара H = ρI_с в виде суммы кон­центраций энергии, переносимой газом (H_г = ρ_гI_г) и паром (H_п = ρ_пI_п):

(1.11)

где І_с , І_г , І_п - энтальпия смеси, газа и пара.

Относительные концентрации энергии газа и пара согласно уравнению (1.11) после его деления на H в сумме составят еди­ницу:

(1.12)

где

(1.13)

(с, с_п, с_г и r – удельные теплоемкости смеси, пара, газа и теп­лота парообразования).

В пределах пограничного слоя будем считать H величиной постоянной со значением, равным среднему. В таком виде вы­несем H за знак оператора субстанциональной производной. Тогда уравнение теплопроводности примет вид

(1-14)

С учетом условия (1.12) получим уравнение, аналогичное (1.6):

div q = 0 (1.15)

Прежде чем применить гипотезу Фурье для плотности резуль­тирующего теплового потока q, отметим, что в слое газа, нахо­дящемся в непосредственном контакте с жидкостью, различают слои насыщенного и ненасыщенного газа. Слой насыщенного газа служит переходным между жидкостью и слоем ненасыщен­ного газа, граничащим с ядром потока. Поскольку в переходном слое газ насыщен, его температура, являющаяся потенциалом переноса энергии, соответствует температуре газа по смоченному термометру, которая однозначно определяет его энтальпию. По­этому удобно рассмотреть уравнение (1.15) применительно к переходному слою насыщенного газа. С учетом сделанного за­мечания и гипотезы Фурье оно запишется так:

div λ grad T = 0 (1.16)

Аналогично уравнению переноса массы уравнение (1.16) заменой переменных Т на приводится к уравнению Лапласа при любой зависимости λ = Λ (T):

(1.17)

В слое насыщенного газа температура однозначно связана с парциальным давлением пара, влагосодержанием насыщенного газа и, следовательно, с теплопроводностью смеси газа и пара. Поэтому может быть выполнено указанное преобразование и найдено распределение температур в пограничном слое.

В то же время, как указывалось выше, для точного решения задачи о тепловом потоке и температурах на границах слоя до­статочно принять в уравнении (1.16) коэффициент теплопровод­ности постоянным, равным среднеинтегральному его значению для данного интервала температур тогда (1.16) приобретает вид уравнения Лапласа:

(1.18)

Следует дополнительно пояснить физический смысл преобра­зований, выполненных для лолучения уравнения (1.15). В связи с невысокими относительными скоростями газа, ограниченными капельным уносом жидкости, течение в контактных аппаратах характеризуется низкими значениями чисел Рейнольдса. Например, при обычных в аппаратах с насадкой скорости газа w = 2,5 м/с и эквивалентном диаметре d_э = 0,004 м, вязкости газа v = 20·10^-6 м²/с число Рейнольдса меньше, чем известное значение критического числа Rе_кр = 2300, определяющего переход ламинарного течения в турбулентное внутри канала.

При внешнем обтекании капель относительная скорость газа близка к скорости витания, так как при большей скорости про­исходит их дробление на более мелкие. Поэтому число Рейнольдса не может быть большим. Например, для капель воды при той же скорости и вязкости газа . При этих усло­виях слой насыщенного газа, примыкающий к границе с жид­костью, практически можно считать ламинарным, а для мельчай­ших капель – неподвижным, так как их относительной скорости почти равны нулю.

Рассмотрим сумму слагаемых в левой части уравнения (1.14), считая теплоемкости, значение r, температуру t равными их сред­ним значениям в пределах слоя. Кроме того, учтем, что d ρ_п.о = d ρ_г.о . Тогда

Запишем более подробно субстанциональную производную

Из последних уравнений видно: чтобы левая часть уравнения (1.14) была равна нулю, должна быть равна нулю субстанцио­нальная производная. Как показано выше вследствие низких значений чисел Рейнольдса не только пограничный слой, но и в целом поток газа над поверхностью жидкости является ламинарным. При ламинарном течении, как известно, гидродинамический пограничный слой в обычном понимании (как слой с гра­диентом скорости) отсутствует, так как толщина такого слоя становится равной половине поперечного размера канала. Иначе говоря, в некоторой области вокруг капель (между поверхностями соседних пленок или частиц жидкости), как следует из определе­ния ламинарного течения, имеет место движение газа относи­тельно жидкости в виде отдельных слоев без поперечных состав­ляющих скорости.

Тогда даже при турбулентном течении всего потока газожид­костной смеси относительно стенок аппарата в рассматриваемом случае (стационарный тепло и массообмен при ламинарном, сло­истом, течении газа вдоль оси х), когда в других направлениях (по оси y и z) согласно принятому представлению слои не пере­мешиваются и пульсации отсутствуют, поперечные составляющие скорости равны нулю w_у = w_z = 0. Также равны нулю соответст­вующие члены субстанциональной производной, кроме одного: . Однако мы рассматриваем насыщенный паром слой газа, который всегда имеется на поверхности жидкости незави­симо от режима течения (ламинарного или турбулентного) в ядре потока и гидродинамическом пограничном слое и который тоже является пограничным слоем между газом и жидкостью. Вследствие малой толщины этого слоя по сравнению с его протяженностью продольные конвективные составляющие по сравне­нию с поперечными можно считать равными нулю, т. е. =0. Вот теперь уравнение (1.14) принимает вид (1.15).

Для короткого слоя, характерного для мельчайших капель, последнее преобразование может быть не выполнено. Но в этом и нет необходимости, так как пограничный, насыщенный паром слой этих капель, как указано выше, можно считать неподвиж­ным относительно потока газа. Эти капли движутся практически со скоростью потока, так как относительная скорость (скорость витания) по мере уменьшения диаметра частиц жидкости стре­мится к нулю (w_х+0). На этом основании можно не только считать равным нулю оставшийся член субстанциональной производной, но и отбросить все конвективные члены в уравнениях переноса субстанции.

Все сказанное в равной мере относится и к уравнению диффу­зии. При этом описанная схема течения в целом является до­пущением – условной рабочей моделью явления. Справедливость принятых представлений и допущений, а также полученного результата в виде уравнения (1-18) для пограничного слоя (под­черкнем, только насыщенного газа) в дальнейшем подтверждается соответствием экспериментальных и расчетных данных о тепло- и массообмене в контактных аппаратах – данных, которые получены на основе зависимостей, выведенных с использованием уравнения (1.18).

Далее следует сказать, что под величиной λ в уравнении (1.16) понимается некоторая эквивалентная теплопроводность смеси пара и газа с учетом влияния диффузионных процессов на полный теплообмен в слое насыщенного газа.

Общие дифференциальные уравнения диффузионного и тепло­вого пограничных слоев известны, но для данного конкретного случая (двухкомпонентная газовая смесь с фазовыми превраще­ниями) они достаточно сложны. Сделанные упрощения дифференциальных уравнении пограничного слоя имеют своей целью усилить роль основного эффекта при расчетах взаимосвя­занных процессов тепло- и массообмена между газом и жидкостью и в то же время по возможности в наибольшей мере учесть второ­степенные. Как видно из уравнений (1.10), (1.18), основным результатом таких упрощений является возможность представить линейным распределение потенциалов переноса массы и энергии в пограничных слоях за счет осреднения некоторых физических параметров в пределах слоя. Этот результат есть следствие особенностей рассматриваемых процессов, включая невысокие относительные скорости фаз, небольшие разности потенциалов переноса, а также специфическое для двухкомпонентных смесей равенство абсолютных значений градиентов концентраций ком­понентов, градиентов их парциальных энтальпий (Н_п, Н_г) и пар­циальных давлений.

Одним из не рассмотренных эффектов является стефанов по­ток, который возникает в такого рода процессах как компенсация движения газа к непроницаемой для него поверхности жидкости. Поток пара в этом случае равен сумме молекулярного и конвек­тивного потоков:

где w_s – скорость стефанова потока.

Поскольку этот поток при прочих равных условиях зависит от градиента концентрации, то расход пара в нем можно записать соответственно как

Тогда коэффициент будет некоторой добавкой к коэффици­енту диффузии в уравнении для потока пара:

Осредняя сумму в пределах слоя и применяя к этому уравнению операцию дивергенции в соответствии с уравнением (1.6), получим уравнение переноса массы в той же форме (Лап­ласа), в которой оно было получено выше [см. уравнение (1.10)]: .

Таким образом, форма уравнений (1.10), (1.18) позволяет учесть влияние диффузии, включая вызванное ею изменение ско­рости движения сред.

Полученные уравнения переноса массы (1.10) и энергии (1.18) отличаются только обозначением переменных, поэтому можно го­ворить об аналогии процессов тепло- и массообмена, однако в определенном, указанном выше смысле: о подобии полей потен­циалов на границах, а не внутри пограничного слоя. Но и эту аналогию лишь тогда можно провести, когда будут тождественны не только уравнения, но и условия однозначности, в том числе краевые условия.