Глава 7

ЭКСТЕНСИВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Измерение температуры требует, как мы узнали из главы 6, схемы из пяти правил. Существуют ли в физике понятия, которые могут быть измерены путем использования более простой схемы? Да, существуют. Большое число величин, называемых «экстенсивными величинами», измеряется с помощью схемы, состоящей из трех правил.

Схема из трех правил применяется к тем ситуациям, в которых две вещи могут быть некоторым способом

119

объединены или соединены, чтобы произвести новую вещь, а значение величины М для новой вещи будет представлять сумму значений М для двух вещей, которые соединяются вместе. Вес, например, является экстенсивной величиной. Если мы положим вместе пятифунтовое и двухфунтовое тела, тогда вес составного тела будет равен семи фунтам. Температура не является такой величиной. Не существует никакой простой операции, с помощью которой мы бы могли взять, скажем, тело с температурой 60°, объединить его с телом, имеющим температуру 40°, и получить тело с температурой 100°. Операции, посредством которых объединяются экстенсивные величины, в значительной мере изменяются от величины к величине. В простейших случаях эта операция состоит просто в том, что два тела соединяются вместе, или склеиваются, или связываются, или даже, возможно, помещаются рядом, подобно двум грузам на той же самой чашке весов. Повседневная жизнь изобилует такими примерами. Ширина ряда книг на полке равна сумме толщин каждой отдельной книги. Мы берем с полки книгу и прочитываем десять страниц. Позже, в течение дня, мы прочитываем еще десять страниц. В целом мы прочитываем двадцать страниц. После частичного наполнения ванны мы обнаруживаем, что вода в ней слишком горяча» поэтому мы добавляем немного холодной воды. Полный объем воды в ванне будет равен сумме объемов горячей и холодной воды, протекшей через краны. Точная процедура для объединения вещей относительно некоторой экстенсивной величины часто явно не указывается. Это рискованная практика, и она может вызвать большую путаницу и недоразумения. Поскольку существует так много различных способов объединения вещей, важно не предполагать, что метод объединения является известным. Он должен быть явно установлен и ясно определен. Как только это будет сделано, величина может быть измерена путем применения схемы из трех правил.

Первое правило постулирует то, что называют принципом соединения, или «аддитивности». Оно устанавливает, что когда объект составляется из двух компонентов, то значение величины для такого объекта будет равно арифметической сумме значений величин для двух компонентов. Любая величина, которая соответствует

120

этому правилу, называется «аддитивной величиной». Вес представляет собой знакомый нам пример. Операция объединения в этом случае будет состоять просто в том, что два тела кладутся вместе и взвешиваются как одно тело. Мы кладем тело а на весы и замечаем его вес. Затем мы заменяем его телом b и замечаем вес последнего. Наконец, мы кладем на весы оба тела. Этот новый объект, который есть не что иное, как взятые вместе тела а и b, будет, конечно, иметь вес, равный арифметической сумме весов а и b.

Когда в первое время читатель сталкивается с таким правилом, он может считать странным, что мы даже упоминаем о таком тривиальном правиле. Но в логическом анализе научного метода мы должны все сделать явным, включая вещи, которые обыватель считает само собой разумеющимися и не выражает их словами. Естественно, что никто не будет считать, что, когда камень в 7 фунтов помещается на весах рядом с камнем в 5 фунтов, весы 'покажут полный вес в 70 или 3 фунта. Мы считаем само собой разумеющимся, что составной вес будет равен 12 фунтам. Однако можно допустить, что в некотором другом мире величина веса не будет следовать такому удобному аддитивному образцу. Мы должны установить, следовательно, аддитивность веса явным образом, путем введения аддитивного правила: если два тела соединяются вместе и взвешиваются как одно тело, то их полный вес будет арифметической суммой весов отдельных тел.

Сходные-правила должны быть введены для каждой экстенсивной величины. Длина представляет собой другой знакомый нам пример. Одно тело имеет прямое ребро а, другое — прямое ребро b. Мы помещаем два тела вместе так, чтобы два ребра касались друг друга своими концами и были расположены на одной прямой. Этот новый физический объект — прямая линия — образуется путем соединения а и b и будет иметь длину, равную сумме длин а и b.

Ранние формулировки аддитивного правила для длины часто были совершенно неудовлетворительными. Например, некоторые авторы говорили, что, если два отрезка а и b сложить, длина нового отрезка получается путем сложения длин а и b. Это крайне плохой способ формулировки правила, потому что в том же самом

121

предложении слово «сложить» употребляется в двух совершенно различных смыслах. Сначала оно используется в смысле соединения двух физических объектов, располагаемых вместе некоторым специфическим способом, а затем употребляется в смысле арифметической операции сложения. Эти авторы, кажется, не сознают, что указанные два понятия являются отличными друг от друга, потому что, когда они переходят к символическому выражению правила, они пишут его следующим образом:

L (а + b) = L (а) + L (b).

Некоторые авторы, которыми в других отношениях я восхищаюсь, виновны в такой неуклюжей формулировке — формулировке, которая переносит на символы двойное употребление слова «сложение». Второй символ « + » обозначает арифметическую операцию, но первый « + » вовсе не является обозначением арифметической операции. Вы не можете арифметически сложить две линии. То, что вы можете сложить, представляет не линии, а числа, которые выражают длины этих линий. Линии не являются числами, они являются конфигурациями физического пространства. Я всегда подчеркивал, что необходимо отличать арифметическое сложение от того рода сложения, которое представляет физическую операцию соединения. Чтобы помочь нам держать в уме это различие, нужно, если мы будем следовать Гемпелю (который писал о длине как об экстенсивной величине), ввести специальный символ — маленький кружочек «о» — для физической операции соединения. Это дает нам гораздо более удовлетворительный способ символизации аддитивного правила для длины:

L (а о b) = L (a) + L (b).

Соединение длин может быть представлено графически:

a b

L (a) L(b)

L(a о b) [не «L (a + b)»].

Хотя в случае веса не имеет значения, как именно помещены вместе два тела на весах, в случае длины это

122

имеет значение. Предположим, что два отрезка расположены подобно следующим:

Они соприкасаются своими концами, но расположены не на одной прямой линии. Расстояние между точками А и С не равно сумме длин а и b. Мы должны, следовательно, всегда быть аккуратными, чтобы точно охарактеризовать, что мы понимаем под операцией соединения.

Теперь мы можем символически представить общий принцип аддитивности по отношению к любой экстенсивной величине М с помощью следующей записи:

М(а о b) = М(а) + М(b).

В этом утверждении символ «о» указывает на специфическую процедуру соединения а и b. Будет лучше, если мы назовем это вторым правилом нашей схемы из трех правил, скорее, чем первым правилом. Первое правило, которое проще, есть правило равенства. Оно есть то же самое, что и первое правило схемы из пяти правил для измерения температуры. Оно характеризует процедуру, посредством которой мы определяем равенство величин. В случае веса мы говорим, что два тела будут иметь тот же самыйг вес, если весы будут оставаться в равновесии, когда на их чашки мы положим эти тела.

Третье правило соответствует правилу 4 схемы для температуры. Оно характеризует значение единицы измерения для величины. Это обычно делается путем выбора тела или естественного процесса, который может быть легко воспроизведен, и затем определения значения единицы измерения в терминах этого тела или процесса. Я упоминал раньше о двух примерах: метре, основанном на множестве длин волн некоторого типа излучения, и килограмме, базирующемся на международном прототипе, хранящемся в Париже. Метр и килограмм являются стандартными единицами длины и веса в метрической системе измерения.

Резюмируя, мы можем сказать, что наша схема для измерения любой экстенсивной величины состоит из следующих трех правил:

123

1. Правило эквивалентности.

2. Правило аддитивности.

3. Правило единицы измерения.

Поскольку эта схема проще, чем ранее обсуждавшаяся схема из пяти правил, то почему она не всегда используется? Ответ на этот вопрос заключается, конечно, в том, что для многих величин не существует никакой операции соединения, которая обеспечивала бы основу для применения аддитивного принципа. Мы уже видели, что температура не является аддитивной величиной. Основной тон звука и твердость тел представляют два других примера. По отношению к таким величинам мы не можем найти операцию соединения, которая была бы аддитивной. Поэтому такие величины называют «неэкстенсивными» или «интенсивными» величинами. Однако в физике имеется большое число аддитивных величин, для которых вышеупомянутая трехчленная схема дает адекватную основу для их измерения.

Многие ученые и философы науки рассматривают термины «экстенсивная величина» и «аддитивная величина» как синонимы, но некоторые авторы проводят здесь различие. Если мы хотим провести такое различие, то оно должно быть сделано следующим образом. Мы назовем величину экстенсивной, если мы можем придумать операцию, которая будет представляться естественной операцией соединения и для которой может быть построена шкала измерения. Если мы обнаружим, что относительно выбранной шкалы и избранной операции аддитивный принцип выполняется, мы назовем величину аддитивной, так же как и экстенсивной. Мы можем сказать, что она является аддитивно-экстенсивной величиной. Если же аддитивный принцип не выполняется, мы назовем ее неаддитивно-экстенсивной величиной.

Почти все экстенсивные величины физики являются аддитивными, но существуют и некоторые исключения. Замечательным примером является относительная скорость в специальной теории относительности. В классической физике относительная скорость вдоль прямой линии является аддитивной в следующем смысле. Если тела А, В, С движутся по прямой линии в том же самом направлении и скорость В относительно А есть V1, скорость

124

С относительно В есть V2, то скорость V3 движения С относительно А, согласно классической физике, должна быть равна V1 + V2. Если вы идете вдоль главного прохода самолета, летящего точно на запад, какова будет ваша скорость в этом направлении по отношению к земле? До появления теории относительности на это можно было ответить просто путем прибавления к скорости самолета вашей собственной скорости внутри самолета. Сейчас мы знаем, что относительные скорости не являются аддитивными. Для этого должна быть использована специальная формула, в которую скорость света входит в качестве одного из членов. Когда скорости являются весьма малыми относительно скорости света, мы можем обращаться с ними как с аддитивными величинами, но, если они будут очень большими, мы должны использовать следующую формулу, в которой с есть скорость света:

.

Вообразим, например, что космический корабль В, движущийся по прямой, проходит планету А с относительной скоростью V1. Космический корабль С, движущийся в том же направлении, имеет скорость V2 относительно космического корабля В. Какова будет относительная скорость V3 корабля С по отношению к планете A? Если скорости V1 и V2 космических кораблей будут малы, то значение дроби, которая должна быть прибавлена к 1 в знаменателе формулы, будет так мало, что оно может не приниматься в расчет. Мы получим тогда V3 просто путем сложения V1 и V2. Но если космические корабли движутся с очень большими скоростями, скорость света, с становится фактором, который должен приниматься в расчет. В этом случае 1/3 будет значительно отличаться от простой суммы V1 и V2. Если вы будете исследовать формулу, то увидите, что независимо от того, насколько приближаются относительные скорости кораблей к скорости света, их сумма не может превысить скорости света. Мы заключаем, таким образом, что относительная скорость в специальной теории относительности есть экстенсивная величина (потому что

125

она может быть определена с помощью операции соединения), но она не аддитивна.

Другими примерами экстенсивно-неадди-тивных величин являются тригонометрические функции углов. Предположим, что вы имеете угол а между прямыми кромками L1 и L2 куска металлического листа А (рис. 7-1). Другой кусок металлического листа В имеет угол b между кромками L3 и L4. Теперь мы соединим два угла, поместив их так, чтобы их вершины совпали и L2A совпала с частью

L3B. Ясно, что угол у между L1 и L4 будет представлять

результат сложения углов a и b. Мы можем сказать, таким

Рис. 7-1.

образом, что, когда углы соединены указанным способом и величины их измеряются обычным путем, их значения являются аддитивными. Угол у имеет значение, равное сумме значений аир. Но их значения не будут аддитивными, если мы возьмем в качестве "нашей величины одну из тригонометрических функций, такую, как синус каждого угла. Если мы хотим, то мы можем назвать синус величиной экстенсивной (поскольку мы имеем операцию соединения), но это неаддитивная величина. С другой стороны, мы можем решить, что мы не хотим назвать синус экстенсивной величиной, поскольку операция соединения в действительности относится не к синусам, а к углам. Но это не совсем то же самое, что сложение синусов. С этой, второй точки зрения синус не является экстенсивной величиной.

Критерий, который мы предложили для решения того, является ли величина экстенсивной или нет, как мы видим, не является точным. Если вы помните, мы говорили, что, когда мы можем придумать операцию, которая нам кажется естественной операцией соединения по отношению к данным величинам, тогда мы можем

126

назвать такую операцию экстенсивной. Один человек может сказать, что для него операция сложения двух углов представляет вполне естественный способ соединения синусов. Для него тогда синус является неаддитивно-экстенсивной величиной. Кто-то другой может сказать, что это очень хорошая операция для соединения углов, но не для соединения синусов. Для такого лица синус не является экстенсивной величиной. Иными словами, существуют крайние случаи, когда назвать ли величину экстенсивной или нет представляет субъективное дело. Поскольку такие случаи экстенсивных, но неаддитивных величин относительно редки и даже сомнительны (сомнительны потому, что мы не хотим принять предложенную операцию как законную операцию соединения), то вполне понятно, что многие авторы используют термины «экстенсивный» и «аддитивный» как синонимы. Нет необходимости критиковать такое употребление терминов. Для таких авторов термин «экстенсивный» применяется к величине только тогда, когда имеется операция соединения, относительно которой выполняется аддитивный принцип, как это имеет место для длины, веса и многих обычных величин физики.

Теперь следует сделать некоторые замечания относительно измерения временных интервалов и длин, потому что в некотором смысле эти две величины являются основными в физике. Раз мы можем измерить их, мы можем определить многие другие величины. Быть может, нельзя определить эти величины явно (эксплицитно), но мы можем по крайней мере ввести их посредством операционных правил, в которых используется понятие расстояния в пространстве или времени. Вспомните, например, что в правилах для измерения температуры мы использовали понятия объема ртути и длины столбика ртути в трубке. В этих случаях мы предполагали, что мы уже знаем, как измерить длину. При измерении многих других физических величин делаются подобные же ссылки относительно измерения длины в пространстве и продолжительности во времени. В этом смысле длина и продолжительность могут рассматриваться как первичные величины. В главах 8 и 9 будут рассматриваться процедуры, посредством которых измеряются пространство и время.