4.3.5. Вплив сил опору на вільні коливання системи. Згасаючі коливання

№ бло- ку

Текст програми

Пояснення

1

2

3

1.

> restart:

Перезапуск програми

2.

> read "mechan_sistema.m";

Підключення пакету зображення об’єктів, змодельованого авторами посібника

3.

> with(plots):

> with(plottools):

Підключення графічних пакетів

4.

Геометричні розміри

повзуна, нитки і стіни

> H :=.1: L :=.2:

> l:=.5: Sft:=.5:

> l:='l': t:='t':

Завдання

– висота і – довжина повзуна,

– довжина нитки, – висота стіни.

Привласнити змінним: довжину нитки і час

5.

display(механізм(0.5,Pi/6),

scaling=constrained,axes=NONE);

Зображення еліптичного маятника

на дисплеї комп’ютера

6.

Кінетична енергія

> T1:=v->M*(v)^2/2:

> T2:=(v,omega,phi)->m*((l*

cos(phi)*omega+v)^2+(l*sin(phi)*

omega)^2)/2:

> T:=(v,omega,phi)->T1(v)+

T2(v,omega, phi):

Кінетична енергія:

повзуна: ;

кульки:

еліптичного маятника:

.

1

2

3

7.

Потенціальна енергія

> V1:=x->k*x^2/2:

> V2:=phi->m*g*l*(1-cos(phi)):

> V:=(x,phi)->V1(x)+V2(phi):

Потенціальна енергія:

сили пружності: ;

сили ваги кульки:

;

еліптичного маятника:

.

8.

Функція Лагранжа

> Lagrange:=(v,omega,x,phi)->T(V,

omega, phi)-V(x,phi):

> Lg:=Lagrange(v,omega,x,phi):

лагранжіан

9.

Заміна змінних

> for s in x,phi,v,omega do

A[s]:=subs([x=x(t),phi=phi(t),

v=diff(x(t),t),omega=diff(phi(t),t)],

diff(Lg,s)); end do:

Вводимо функції диферен­ціювання лагранжіана за змінними

,

1

2

3

10.

Система рівнянь Лагранжа ІІ роду

> Eq1:=diff(A[v],t)-A[x]=0:

> Eq2:=diff(A[omega],t)-A[phi]=0:

> Eq2:=simplify(Eq2):

> for i from 1 to 2 do Eq||i:=

subs(sin(phi(t))=phi(t),

cos(phi(t))=1, diff(phi(t),t)^2=0,

Eq||i); end do:

> for i from 1 to 2 do

Eq||i||new:=subs(x(t)=y(t)-l*phi(t), Eq||i); end do:

> Eq1new:=simplify(%%):

> Eq2new:=simplify(%%):

> Eqn:=subs(phi(t)=solve(Eq2new,

phi(t)), Eq1new):

Рівняння Лагранжа ІІ роду:

Спрощуємо друге рівняння системи. Так як коливання малі, замінюємо:

, , ;

.

Спрощуємо обидва рівняння

Підставляємо в перше рівняння , отримане з другого рівняння.

11.

Розв’язання рівнянь Лагранжа

> Eqn_f:=simplify(subs(y(t)=

exp(I*sqrt(lambda)*t), Eqn)*g/exp(I*sqrt(lambda)*t)):

Характеристичне рівняння

Вводимо функцію Ейлера , до- множаємо на і ділимо на

1

2

3

12.

> Om:=solve(Eqn_f,lambda):

Корені характеристичного рівняння

13.

Параметри еліптичного маятника

> M:=1: m:=.1:

l:=.5: k:=10:

g:=9.8:

Параметри еліптичного маятника:

маси – повзуна і – кульки;

– довжина нитки; – кількість витків пружини; – прискорення вільного падіння.

14.

> Omega:=<sqrt(Om[1])|

sqrt(Om[2]):

> printf("%9.2f,%9.2f\n",

Omega[1], Omega[2]):

Власні частоти коливань системи

в рад/сек

4.80, 2.92

Власні частоти коливань

еліптичного маятника

рад/сек, рад/сек

1

2

3

15.

Розв’язок рівнянь Лагранжа ІІ роду в чисельному вигляді

> evalf(dsolve({Eq1,Eq2,

x(0)=0.2,

phi(0)=Pi/24,

D(x)(0)=0, D(phi)(0)=0},{x(t),phi(t)})):

> X:=rhs(%[1]);Phi:=rhs(%%[2]);

Закони руху еліптичного маятника

Закони руху еліптичного маятника

Чисельний розв’язок рівнянь Лагранжа за по- чаткових умов:

відхилення: повзуна  м, кутове кульки

рад;

швидкості: повзуна , кутова кульки .

Праві частини рівнянь

Закони руху еліптичного маятника

16.

Динаміка еліптичного маятника

> for i from 0 to 25 do t:=0.1*i;

q||i:=display(механізм(0.4+X,Phi),

textplot([0.4,0.8, cat("t=",convert

(0.1*i, string)," ceк")]), scaling=

constrained, axes=NONE); end do:

> display([seq(q||i,i=0..25)],

insequence=true,scaling=

constrained, axes=NONE);

Динаміка еліптичного маятника

Формуємо кадри анімації на проміжку сек. через кожні с

Кадри записуємо в масив , положення рівноваги повзуна взято у положенні 0.4,

відображення моменту часу