Запитання для самоконтролю

1. Що називають узагальненими координатами?

2. Який зв’язок існує між узагальненими координатами і декартовими координатами? Чи збігається їх кількість?

3. Чому дорівнює кількість степенів вільності системи?

4. Що таке узагальнена швидкість і як вона пов’язана з вектором швидкості точки?

5. Що називають узагальненою силою і як її обчислити?

6. У яких одиницях виражається узагальнена сила?

7. У чому полягають узагальнені рівняння рівноваги?

8. Напишіть рівняння Лагранжа другого роду. Скільки їх буде для довільної системи точок?

9. Що називають кінетичним потенціалом?

10. Що називають функцією Релея. У чому полягає її фізичний зміст?

4.3. Малі коливання матеріальної системи

4.3.1. Положення стійкої рівноваги. Теорема Лагранжа-Діріхле і теореми Ляпунова

Введемо поняття про стійкість рівноваги. Розрізняють рівновагу трьох видів: стійка (рис. 4.18, а), нестійка (рис. 4.18, б) і байдужа (рис. 4.18, в).

а	б	в

Рисунок 4.18

Стійкість рівноваги визначається як здатність системи зберігати стан рівноваги або повертатися до початкового положення, якщо вона з нього виведена.

У положенні рівноваги всі узагальнені сили дорівнюють нулеві:

. (4.96)

Положення рівноваги називають стійким, якщо виконуються певні умови. Розглянемо ці умови.

Нехай і – узагальнені координати й узагальнені швидкості точок системи; – узагальнені координати точок системи в положенні рівноваги; й – координати і швидкості точок системи в початковий момент часу.

Якщо кожному досить малому числу відповідає інше додатне число таке, що для всіх додатних приростів часу справедливі нерівності

за умови, що початкові координати і швидкості задовольняють

,

то положення рівноваги називають стійким.

Критерій стійкості рівноваги дає теорема Лагранжа-Діріхле:

якщо система матеріальних точок з геометричними в’язями в консервативному полі знаходиться в стані рівноваги і її потенціальна енергія мінімальна, то це положення є положенням стійкої рівноваги.

Для консервативної системи . На підставі (4.60) маємо

. (4.97)

Як відомо, це умова екстремуму функції . Вважатимемо, що це мінімум. Доведемо, що рівновага стійка.

Нехай . Не порушуючи загальності, завжди можна так перетворити координати, що забезпечиться виконання цієї умови. Вважатимемо також, що в положенні рівноваги

або . (4.98)

Як відомо, цю умову завжди можна виконати завдяки довільному вибору положення нульової еквіпотенціальної поверхні.

Сукупність координат визначає положення точки в багатовимірному просторі. Вона відтворюватиме положення і рух системи матеріальних точок. Цю точку називають зображуючою точкою. Нагадаємо властивість функції, що має мінімум у певній точці: приріст функції додатний, якщо прирости аргументів досить малі.

Нехай – точка мінімуму функції . Усі точки , що лежать в околі такі, при переході до яких функція дістає додатний приріст, утворюють область мінімуму.

Оскільки в точці функція дорівнює нулеві ( =0), то в усіх точках області мінімуму .

Область мінімуму достатньо мала. Отже, зростає до певної системи точок, що створює границю області мінімуму.

Нехай найменше значення функції на границі області мінімуму дорівнює А. Тоді, за означенням, усі точки, для яких , лежать усередині області мінімуму.

Система точок перебуває в консервативному полі, отже, діє закон збереження енергії:

. (4.99)

Звідси

. (4.100)

Отже,

, (4.101)

тобто в довільний момент часу точка знаходиться всередині області мінімуму.

Теорема Лагранжа-Діріхле дає тільки достатню ознаку стійкості рівноваги. Вона не дозволяє визначити чи буде положення рівноваги стійким, чи нестійким, якщо потенціальна енергія системи в цьому положенні не має мінімуму. Інколи можна твердити, що положення рівноваги нестійке. Для цього використовують теореми О.М.Ляпунова.

Розкладемо функції в ряд Маклорена в околі положення стійкої рівноваги:

(4.102)

На підставі (4.97) і (4.98) перші два доданки у (4.102) дорівнюють нулеві. Задовольняючи умову малості коливань, відкидаємо доданки вище другого порядку.

Тоді, потенціальна енергія є квадратичною формою узагальнених координат.

Теореми О.М.Ляпунова про випадки нестійкої рівноваги формулюється так:

Теорема 1. Якщо в положенні рівноваги системи, що збігається з початком координат, і її потенціальна енергія не є мінімумом, і якщо це виявляється тією обставиною, що квадратична форма може ставати від’ємною, то це положення рівноваги нестійке.

Теорема 2. Якщо в положенні рівноваги системи її потенціальна енергія має максимум і цей максимум визначається членами найнижчого порядку з тих, що дійсно входять до її розкладу, то стан рівноваги нестійкий.