4.2.8. Узагальнене рівняння енергії. Фізичний зміст функції Релея

Розглянемо рівняння Лагранжа другого роду для дисипативних систем (4.72):

. (4.80)

Помножимо кожне з рівнянь (4.80) на відповідну узагальнену швидкість і почленно додамо всі рівняння:

. (4.81)

Права частина (4.81) – узагальнена потужність збурювальних сил. Функції і – квадратичні форми узагальнених швидкостей (розглядаємо випадок, коли на систему накладені лише стаціонарні в’язі), тому за теоремою Ейлера про однорідні функції

. (4.82)

Потенціальна енергія явно залежить лише від узагальнених координат, тому

. (4.83)

Щоб розглянути перший доданок виразу (4.81), спочатку знайдемо

.

Тоді

. (4.84)

Отже, остаточно матимемо

, (4.85)

де – узагальнена потужність збурювальних сил.

Рівність (4.85) називають узагальненим рівнянням енергії.

При відсутності зовнішнього збурення ( ) з урахуванням

, (4.86)

тобто подвоєна функція Релея визначає зменшення повної механічної енергії системи з часом. Інакше кажучи, функція Релея характеризує бистроту розсіювання повної механічної енергії системи.

Нарешті, для консервативної системи (Ф = 0) із(4.85) дістанемо добре відоме співвідношення

.

Приклад 4.1. Повзун масою ковзає без тертя по горизонтальній площині (рис. 4.14). Стержень АВ довжиною із кулькою маси на кінці може обертатися навколо осі, з’єднаної з повзуном А і перпендикулярної до площини рисунка. Нехтуючи масою стержня, скласти рівняння руху еліптичного маятника.

Рисунок 4.14

Розв’язання. Визначимо кількість степенів вільності системи. Вона дорівнює найменшій кількості додаткових в’я-зей, що перетворюють систему в нерухому ( =0). Отже, у даному випадку =2. Узагальнені координати – параметри і .

Загальний вигляд рівнянь руху такий:

. (4.87)

Для обчислення узагальнених сил зафіксуємо одну координату і надамо приріст іншій. Обчислимо роботу сил. Нехай спочатку . Роботу мають виконувати тільки сили ваги і , але їх напрям перпендикулярний до напряму переміщення . Тому і узагальнена сила

. (4.88)

Нехай а . Тоді

,

звідки

. (4.89)

Кінетична енергія системи

, (4.90)

Швидкість повзуна , а швидкість кульки знайдемо за координатним способом

; (4.91)

. (4.92)

Диференціюємо (4.92) за часом

. (4.93)

На підставі (4.91) і (4.93) дістанемо

. (4.94)

Підставимо і до (4.90)

. (4.95)

Знайдемо похідні від кінетичної енергії за :

Здобуті вирази, а також (4.88) і (4.89) підставимо до рівнянь (4.87), дістанемо шукані рівняння руху еліптичного маятника:

Рекомендуємо читачам самостійно дослідити отриману систему диференціальних рівнянь.

Задачі для самостійного розв’язування

Рисунок 4.15

Задача 4.5. Механізм складається з вертикальної осі 1, горизонтального стержня 2 і колеса 3 (рис. 4.15). Визначити кількість степенів вільності колеса 3.

Відповідь: 4.

Задача 4.6. Фрикційна передача складається з коліс 1, 2, 3 (рис. 4.16). До коліс 1 і 3 прикладені пари сил з моментами = 15 Нм і = 5 Нм . Взявши за узагальнену координату кут , визначити відповідну узагальнену силу, якщо = 0,3 м, = 0,5 м.

Відповідь: 12 Нм.

Рисунок 4.16

	Задача 4.7. Пара сил зі сталим моментом М = 1 Нм обертає трикутну пластину OBD з кутом (рис. 4.17). Точка А масою = 0,1 кг рухається по стороні пластинки ОВ. Визначити узагальнену силу, відповідну до координати . Відповідь: 0,85 Н.
Рисунок 4.17