Задачі для самостійного розв’язування

Задача 3.1. На тягар, підвішений на пружині жорсткістю с = 16 кН/м, діє збурювальна сила (Н). Знайти закон вимушених коливань при резонансі, нехтуючи опором середовища.

Відповідь: м.

Задача 3.2. Знайти закон вертикальних вільних коливань точкового тягара, підвішеного на невагомій пружині, відносно точки О закріплення пружини, якщо тягар починає рух із положення статичної рівноваги з початковою швидкістю м/с. Довжина недеформованої пружини см, її статична деформація під дією тягара дорівнює 9,8 см.

Відповідь: (м).

Задача 3.3. Тягар вагою 29,4 Н, підвішений на пружині, здійснює у порожнечі 150 коливань за хвилину, а під впливом сили опору, яка пропорційна першій степені швидкості, – 90. Знайти закон руху тягара і силу опору при швидкості 1 м/с, якщо в початковий момент часу тягар знаходився в положенні статичної рівноваги і мав швидкість 0,3 м/с, яка напрямлена вниз.

Відповідь: (м); (Н).

Запитання для самоконтролю

1. Що називають масою?

2. Чому дорівнює кількість руху точки?

3. Сформулюйте закони І.Ньютона.

4. Що називають основним рівнянням динаміки?

5. У яких формах можна скласти диференціальні рівняння руху точки?

6. У чому полягає перша задача динаміки точки?

7. Яка послідовність розв’язання другої задачі динаміки точки?

8. Що називають положенням статичної рівноваги?

9. Чому дорівнює ?

10. Під дією яких сил відбуваються вільні, вимушені, згасаючі коливання?

11. Що називають циклічною частотою вільних коливань?

12. Що називають періодом згасаючих коливань?

13. Що характеризує декремент коливань?

14. Для чого потрібно знати частоту вільних коливань при розгляді вимушених коливань?

15. Що характерне для амплітуди вимушених коливань в нерезонансному випадку?

16. У чому полягає явище резонансу? Коли він настає?

17. Період яких коливань триваліший – вільних чи згасаючих?

18. Чому дорівнює частота вимушених коливань?

19. Що таке логарифмічний декремент і де застосовується це поняття?

3.2. Динаміка системи матеріальних точок

3.2.1. Основні поняття

У підрозд. 1.1.3 дано означення фізичної в’язі. Запровадимо поняття рівняння в’язі.

Спочатку розглянемо в’язь у вигляді поверхні певного тіла, по якій рухається точка. Умовимося про координатний спосіб визначення руху. Аналітична умова знаходження точки на поверхні полягає у тому, що її координати задовольняють рівняння цієї поверхні:

. (3.54)

Рівняння (3.54) називають рівнянням в’язі.

Якщо поверхня рухається, то до (3.54) повинен входити час :

. (3.55)

Таку в’язь називають нестаціонарною, а в’язь (3.54) – стаціонарною.

Якщо точка рухається по кривій (наприклад, кільце рухається вздовж дроту), яка описується системою двох рівнянь, то в’язь аналітично визначається системою рівнянь

(3.56)

тобто одна фізична в’язь має два рівняння. Тут і надалі кількість в’язей визначається кількістю рівнянь, якими описуються в’язі.

Наведемо ще приклад. Нехай дві матеріальні точки і з’єднані прямим абсолютно твердим стержнем довжиною . Рівняння в’язі повинно відображати незмінність відстані між точками і :

, (3.57)

де – координати точок .

Якщо довжина стержня змінна, до правої частини (3.57) повинен входити час . Отже, рівняння нестаціонарної в’язі у загальному випадку має бути функцією, яка зв’язує координати точок системи з часом і відображає особливості в’язі:

, (3.58)

де – кількість точок, що належать системі.

Кількість рівнянь типу (3.58) є кількістю в’язей.

Якщо до рівняння в’язі входять лише координати точок і час, то в’язь називають геометричною нестаціонарною.

У складнішому випадку, крім координат точок і часу, функція може залежати й від похідних за часом від координат точок:

. (3.59)

Таку в’язь називають кінематичною (диференціальною). Один приклад найпростішої кінематичної в’язі завжди наводиться у підручниках. Це – горизонтальна площина, по якій без ковзання котиться куля. Справді, точка А дотику кулі до площини має нульову швидкість, тому умова

є рівнянням кінематичної в’язі у векторній формі.

Якщо рівняння (3.59) можна проінтегрувати, то дістанемо геометричну в’язь. У цьому разі первісне рівняння називають рівнянням голономної (інтегрованої) в’язі.

Розглянемо лише геометричні в’язі.

Припустимо, що на точок системи накладено k в’язей типу (3.58). Тоді з 3 координат точок залишаються незалежними лише , оскільки k координат зв’язані між собою залежностями.

Кількістю степенів вільності системи називають кількість незалежних координат (параметрів), які однозначно визначають положення точок системи.

Наприклад, якщо точка рухається у просторі по кривій, то вона має одну степінь вільності, бо три координати точки зв’язані між собою двома рівняннями типу (3.56). Отже, кількість степенів вільності

. (3.60)

Наведемо ще приклади.

Тіло, яке обертається навколо нерухомої осі, має одну степінь вільності, оскільки положення всіх його точок визначаються одним параметром — кутом обертання навколо осі.

	Кривошипно-шатунний механізм (рис. 3.10) також має одну степінь вільності, оскільки координати будь-якої точки повністю визначаються кутом обертання кривошипа ОА навколо осі О. Припустимо, є система матеріальних точок, масою
Рисунок 3.10

прикладено сили, що надають точкам однакові прискорення , до яких. Згідно з другим законом І.Ньютона можна знайти сили, які є паралельними між собою:

. (3.61)

Центром мас (центром інерції) системи називають центр паралельних сил, які надають точкам системи поступального руху.

Радіус-вектор центра мас позначатимемо і на підставі формули (1.55) визначатимемо

, (3.62)

тут – маса системи.

Декартові координати центра мас знаходять за формулами

. (3.63)

Якщо помножити чисельник і знаменник правих частин кожного виразу (3.63) на прискорення , то матимемо координати центра ваги системи. Це свідчить про те, що центр мас збігається з центром ваги, якщо останній існує; уявлення про центр мас ширше за уявлення про центр ваги.

Кількістю руху матеріальної системи називають векторну суму кількостей руху точок системи:

. (3.64)

Якщо система є суцільним середовищем з неперервним розподілом мас, то кількість руху визначається за допомогою інтегрування

.

Але, щоб уникнути інтегрування в кожному окремому випадку, доведемо теорему, згідно з якою

кількість руху системи дорівнює кількості руху матеріальної точки, маса якої дорівнює масі системи, а швидкість дорівнює швидкості центра мас системи.

Запишемо формулу (3.62) у вигляді

,

а потім продиференціюємо праву і ліву частини один раз за часом:

.

Сума в правій частині дорівнює кількості руху системи. Отже,

. (3.65)

Вираз (3.65) свідчить, що кількість руху не завжди може визначати міру руху системи, тобто її динамічні властивості, оскільки при кількість руху системи . Але система може, наприклад, обертатися навколо центра мас, тобто рухатися.

Кількість руху характеризує повністю динамічні властивості системи лише при її поступальному русі.

Зауважимо, що кількість руху є так званою першою мірою руху, або мірою Декарта.