2.3.2. Теорема про додавання швидкостей точки

Скористаємося векторною формою визначення руху і побудуємо радіуси-вектори і , що визначають положення точки відповідно в нерухомій і рухомій системах координат. Вектор визначає положення початку рухомої системи координат.

Введемо умовно три параметри часу: – час в абсолютному русі; – в переносному; – у відносному. Згідно з уявленнями класичної механіки, між цими параметрами існує рівність

; ; . (2.98)

Вектор змінюється тільки в переносному русі, вектори і – і в переносному, і у відносному

.

Абсолютна швидкість точки – це зміна вектора в абсолютному часі :

.

Обчислюючи похідну від функції як складної функції двох змінних і дістаємо:

,

Згідно з (2.98) , тому

. (2.99)

Переносною швидкістю називають зміну просторового положення точки в часі переносного руху. Тому визначимо як похідну від за :

. (2.100)

Відносною швидкістю називають зміну просторового положення точки за часом відносного руху. Тому визначимо як похідну від за :

. (2.101)

Рівність (2.99) на підставі (2.100) і (2.101) набуває вигляду

. (2.102)

Рівність (2.102) є математичним виразом теореми про додавання швидкостей:

швидкість абсолютного руху точки дорівнює геометричній сумі швидкостей відносного і переносного рухів.

Модуль абсолютної швидкості можна знайти за відомою формулою тригонометрії, якщо відомі , і кут між ними.

2.3.3. Теорема про додавання прискорень точки

Абсолютне прискорення точки – фізична величина, що характеризує зміну її абсолютної швидкості в абсолютному часі t:

. (2.103)

Вектори і змінюються і в переносному, і у відносному рухах, тому

; . (2.104)

З виразів (2.103) і (2.104) маємо

Взявши до уваги (2.98), дістанемо

. (2.105)

Переносним прискоренням називають зміну переносної швидкості за часом t₁ переносного руху:

. (2.106)

Відносним прискоренням називають зміну відносної швидкості за часом t₂ відносного руху:

. (2.107)

Таким чином, до формули (2.105) входять , і величина

, (2.108)

яку називають прискоренням Коріоліса.

З формули (2.108) випливає, що прискорення Коріоліса характеризує зміну переносної швидкості у відносному русі і зміну відносної швидкості у переносному русі.

Отже, (2.105) на підставі (2.106), (2.107), (2.108) набуває вигляду

(2.109)

Формула (2.109) є математичним виразом теореми Коріоліса:

абсолютне прискорення точки є векторною сумою прискорень переносного, відносного і коріолісового.

Розглянемо формулу (2.108) і перетворимо її так, щоб вона була зручною для розв’язування задач. Для цього скористаємося виразами (2.100) і (2.101). Дістанемо

. (2.110)

Вектор визначає зміну вектора за часом переносного руху. Якщо переносний рух поступальний, вектор не змінюється, його похідна за дорівнює нулеві, і прискорення Коріоліса в цьому випадку відсутнє. Якщо переносний рух є обертальним навколо певної осі з кутовою швидкістю , то за формулою Ейлера (2.54)

. (2.111)

Кутова швидкість переносного руху змінюється лише у переносному русі, тобто

. (2.112)

Тому на підставі (2.101), (2.110)-(2.112) маємо

. (2.113)

Напрям вектора слід визначати за відомим правилом векторної алгебри. Модуль вектора

. (2.114)

З формули (2.114) видно, що прискорення Коріоліса дорівнює нулеві в трьох випадках:

Випадок 1. Якщо , тобто переносний рух – посту-

пальний.

Випадок 2. У ті моменти часу, коли .

Випадок 3. Якщо , тобто вектори

і колінеарні.

Приклад 2.8. Компресор з криволінійними каналами рівномірно обертається зі сталою кутовою швидкістю навколо осі , перпендикулярної до площини рисунка (рис. 2.47). Повітря тече по криволінійному каналу АВ зі сталою відносною швидкістю . Знайти проекції абсолютної швидкості і абсолютного прискорення на осі координат для частинки повітря, що перебуває в точці каналу, якщо радіус кривини каналу у цій точці дорівнює , кут між нормаллю до кривої і радіусом дорівнює , .

Розв’язання. Відносна швидкість частинки повітря в точці відома, тому для визначення абсолютної швидкості знайдемо переносну швидкість частинки, яка є швидкістю точки каналу в обертальному русі разом з компресором:

.

Абсолютна швидкість

.

Знайдемо її проекції на осі координат і (див рис. 2.47).

;

.

Рисунок 2.47

Визначимо абсолютне прискорення, застосовуючи теорему Коріоліса:

.

Відносний рух – рух частинки вздовж каналу , тому відносне прискорення складається з нормального і дотичного:

,

де ; (відносна швидкість – стала). Отже, відносне прискорення частинки повітря спрямоване до центру кривини каналу.

Оскільки переносний рух – рух точки каналу, то переносне прискорення – це прискорення точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі. Отже,

,

де ; .

Отже, переносне прискорення частинки повітря спрямоване до нерухомої осі компресора.

Прискорення Коріоліса

.

Воно лежить у площині рисунка і збігається з нормаллю до каналу . Його модуль

.

Знаходимо проекції абсолютного прискорення на осі і :

;

.

Задачі для самостійного розв’язування

Задача 2.12. У трубці, що обертається за законом (рад) навколо осі , рухається кулька (рис. 2.48). Закон її руху (см). Чому дорівнює абсолютна швидкість кульки в момент с? Покажіть на рисунку напрями складових абсолютного прискорення кульки в цей момент.

Відповідь: см/с.

Рисунок 2.48

Задача 2.13. Кривошип м обертається навколо осі з кутовою швидкістю рад/с і надає поступального руху кулісі (рис. 2.49). Знайти швидкість куліси в момент, коли .

Відповідь: 0,2 м/с.

Рисунок 2.49