Тема 12. Основы финансово-экономических расчетов

Сутью финансово-экономических расчетов (называемых в специальной литературе также высшими финансовыми вычислениями или финансовой математикой) является применение методов количественного финансового анализа для оценки условий и результатов финансовых операций.

Для овладения методикой финансово-экономических расчетов студенту необходимо разобраться в основных понятиях, принятых в финансовых вычислениях.

Деньги в долг могут быть предоставлены в различных формах: денежная ссуда, продажа товара в кредит, размещение на депозитном счете, приобретение векселя, сберегательного сертификата, облигации и т.д.

Любое финансовое соглашение, кроме определения таких количественных характеристик как сумма сделки, величина дохода или размер процентных ставок, должно обязательно учитывать фактор времени. Необходимость учета временных параметров обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Изменение стоимости денег во времени объясняется инфляцией, рисками, возможностью их инвестирования на различных условиях и т.д. Учет фактора времени в финансовой сфере осуществляется с помощью процентов.

Нужно понимать разницу между процентами (или процентными деньгами, т.е. абсолютной суммой дохода от предоставления денег в долг) и процентными ставками (т.е. относительной величиной дохода за фиксированный промежуток времени к сумме долга).

Проценты за весь срок ссуды могут быть начислены как однократно, так и многократно. Фиксированный период времени, за который начисляются проценты, называют периодом начисления.

Процесс присоединения процентов к первоначальной сумме долга называют наращением, ростом, или капитализацией суммы долга. Определение наращенной суммы осуществляется по принципу «от настоящего к будущему», т.е. начисление производится на первоначальную сумму, поэтому применяемые при этом ставки называют ставками наращения или просто процентными. Определение первоначальной суммы по известной наращенной сумме называют дисконтированием. Оно может осуществляться как решением задачи, обратной к наращению, с помощью процентных ставок (математическое дисконтирование), так и путем расчета процентных денег по принципу «от будущего к настоящему», т.е. по отношению к наращенной сумме. Во втором случае относительная величина дохода называется учетной (дисконтной) ставкой, а сама процедура – банковским или коммерческим учетом (учетом векселей).

Если при начислении процентов постоянно используют одну и ту же первоначальную сумму, то такие ставки называют простыми, если же сумму с ранее начисленными процентами (наращенную) – то применяемые ставки называют сложными.

Размер ставки может быть постоянным на протяжении всего срока действия сделки (фиксированные ставки) или изменяться во времени (плавающие ставки). Во втором случае размер ставки состоит из изменяющейся во времени базовой ставки и надбавки к ней – маржи.

Расчетные формулы, используемые при начислении процентов, традиционно принято записывать в унифицированном виде:

PV=FV (. . .), или FV=PV (. . .),

где	PV	–	первоначальная сумма (настоящая стоимость);
	FV	–	наращенная сумма (будущая стоимость);
	(. . .)	–	в зависимости от решаемой задачи множитель наращения или дисконтный множитель.

Это объясняется тем, что на практике необходимая сумма определяется умножением первоначальной или наращенной суммы на соответствующие множители, рассчитанные значения которых приводятся в справочных таблицах в специальной литературе.

Величина дохода определяется как разность (FV – PV), причем в случае применения процентных ставок эта разность характеризует сумму начисленных процентов (І), а в случае применения учетных ставок – величину дисконта (D). Очевидно, что I=PV * ni, а D=FVnd.

Для удобства студентов основные формулы, применяемые при начислении процентов, обобщены в приведенных далее таблицах.

Таблица 12.1. Расчеты с применением простых процентов

Ставка		Прямая задача		Обратная задача
вид	расчетная формула	содер-жание	Расчетная формула	содер-жание	расчетная формула
Процент-ная		нара- щение	FV=PV(1+ni)	матема- тическое дисконти- рование
Учетная		Банков- ский учет (учет векселей)	PV=FV(1-nd)	нараще- ние

Таблица 12.2. Расчеты с применением сложных процентов

(начисление один раз в году)

Ставка		Прямая задача		Обратная задача
вид	расчетная формула	содер-жание	Расчетная формула	содер-жание	расчетная формула
Процент-ная		нара- щение	FV=PV(1+i)n	матема- тическое дисконти- рование
Учетная		банковс- кий учет (учет векселей)	PV=FV(1-d)n	нараще- ние

Условные обозначения:

i	–	процентная ставка (в виде десятичной дроби);
d	–	учетная ставка (в виде десятичной дроби);
n	–	период начисления (в годах).

Так как ставка устанавливается, исходя из годовых процентов, то при расчете доходности краткосрочных финансовых операций сроком менее года проценты определяются пропорционально длительности ссуды в году, т.е. исходя из того, что , где t – число дней ссуды, k – число дней в году.

Если число дней в году при расчете принимается точным, т.е. 365 (366) дней, то и исчисленные проценты называют точными, если же считают год равным 360 дням, то проценты называют обыкновенными, или коммерческими. Число дней ссуды также может быть точным или приближенным (каждый месяц принимается равным 30 дням). При любом способе расчета день выдачи и день погашения ссуды считается за один день.

Таблица 12.3. Варианты начисления процентов

Число дней в году (к)	Число дней ссуды (t)
	точное		приближенное
	вид применяемых процентов	обозначение в коммер-ческих документах	вид применяемых процентов	обозначение в коммер-ческих документах
365 (366)	точные проценты с точным числом дней ссуды («английская практика»)	365/365 или АСТ/АСТ	не применяет- ся	-
360	обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды («французская практика»)	365/360 или АСТ/360	обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды («немецкая практика»)	360/360

В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам, месяцам или дням. Студенту при расчетах следует обратить внимание, что в контрактах при этом фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка с одновременным указанием периода начисления, например «20 % годовых с ежеквартальным начислением». В таком случае годовая ставка 20 % называется номинальной, а реальный уровень доходности, т.е. отношение совокупного дохода за год, полученного вследствие m-разового начисления по номинальной ставке, к сумме долга, называют эффективной, или действительной ставкой процента. Формулы начисления сложных процентов при этом видоизменяются.

Таблица 12.4. Расчеты с применением сложных процентов

(начисление m раз в году)

Ставка		Прямая задача		Обратная задача
Вид	расчетная формула	содержа- ние	расчетная формула	содержа- ние	расчетная формула
Процент- Ная		нараще- ние		математи- ческое дисконти- рование
Учетная		банковс- кий учет (учет векселей)		нараще- ние

Условные обозначения:

m	–	число периодов начисления в году;
j	–	номинальная процентная ставка;
f	–	номинальная учетная ставка.

Участников финансовых сделок интересуют не виды ставок, зафиксированных в контрактах, а конечная эффективность финансовых операций. Если разные виды ставок в однотипных финансовых операциях в конкретных условиях сделок приводят к одному и тому же финансовому результату, то такие ставки называют эквивалентными.

Соотношение эквивалентности можно определить для любой пары ставок, приравняв попарно множители наращения или дисконтирования. Так, эквивалентность номинальной и эффективной ставок состоит в том, что однократное начисление по годовой ставке і дает тот же финансовый результат, что и начисление по ставке j m-раз в году, а само соотношение получаем, приравняв:

(1+і)ⁿ=(1+ ,

откуда .

Результаты аналогичных преобразований для удобства обобщим в таблице.

Таблица 12.5. Формулы эквивалентности ставок

Сравниваемые ставки	Расчетная формула
Простая процентная (is) и простая учетная (ds)
Сложная процентная (i) и сложная учетная (d)
Простая процентная (is) и сложная процентная (i)
Простая учетная (ds) и сложная учетная (d)
Номинальная (j) и эффективная (i) процентная	)
Номинальная (f) и эффективная (d) учетная	)

В условиях неустойчивого кредитно-денежного рынка часто происходят изменения уровня процентных ставок. В таком случае множитель наращения при использовании простых процентов определяется как алгебраическая сумма:

FV=PV(1+n₁i₁+n₂i₂+ . . .n_ki_k),

а при использовании сложных процентов – как произведение частных множителей:

FV=PV(1+i₁)ⁿ¹ * (1+i₂)ⁿ² . . . (1+I_k)

Если в финансовых операциях размер процентной ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней ставки. Замена всех значений ставок средней ставкой не должна изменять результатов наращения или дисконтирования, поэтому расчетные формулы, как и в случае эквивалентности ставок, выводят путем сравнения множителей наращения или дисконтирования. Так, для случая простых процентных ставок получим:

откуда ,

где N - общий срок начисления процентов (N= ).

Аналогичные расчеты для простой учетной ставки тоже приводят к формуле средней арифметической , а расчеты для сложных ставок – к средней геометрической

.

Если меняется во времени сумма, на которую начисляются проценты (вследствие внесения денег на счет или снятия их со счета), то традиционная формула простых процентов (I=PVni) приобретает вид:

,

Где	PVj	-	остаток средств на счете в момент после очередного поступления или списания средств;
	nj	-	период хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете ( )