2. Дисперсия дискретной случайной величины d(X).

Пример:

X1	-0,01	0,01
P	0,5	0,5

X2	-100	100
P	0,5	0,5

и .

Здесь мат.ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем X₁ имеет возможные значения, близкие к мат.ожиданию, а X₂ - далекие от своего мат.ожидания. Т.е. зная лишь мат.ожидание случайной величины, нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг мат.ожидания.

Пусть X – случайная величина и M(X) ее мат.ожидание. Рассмотрим отклонение X-M(X).

Пусть

X	x1	x2	x3	…	xn
P	p1	p2	p3	…	pn

Тогда

X-M(X)	x1-M(X)	x2-M(X)	x3-M(X)	…	xn-M(X)
P	p1	p2	p3	…	pn

Т.к. для того, чтобы отклонение приняло значение x₁-M(X) достаточно, чтобы случайная величина приняла значение x₁. Вероятность же этого события p₁.

Теорема: .

Доказательство:

Т.к. - постоянная величина, то . ( )

Значит,

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения (например, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели). Но отклонение для этого не подойдут, т.к. среднее значений отклонений , поэтому вводят понятие дисперсии.

Определение: Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют мат.ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат.ожидания, т.е.

.

Пусть

X	x1	x2	x3	…	xn
P	p1	p2	p3	…	pn

Тогда

[X-M(X)]2	[x1-M(X)]2	[x2-M(X)]2	[x3-M(X)]2	…	[xn-M(X)]2
P	p1	p2	p3	…	pn

Пример:

X	1	2	5
P	0,3	0,5	0,2

[x₁-M(X)]²=(1 - 2,3)²=1,69;

[x₂-M(X)]²=(2 - 2,3)²=0,09;

[x₃-M(X)]²=(5 - 2,3)²=7,29

[X-M(X)]2	1,69	0,09	7,29
P	0,3	0,5	0,2

.

Вычисления громоздки, чаще используют другую формулу для вычисления дисперсии.

Теорема: .

Доказательство:

Т.к. - константы.

Пример:

X	1	2	5
P	0,3	0,5	0,2

X2	1	4	25
P	0,3	0,5	0,2

Свойства дисперсии

1)

Доказательство: Из определения дисперсии

.

2)

Доказательство: Из определения дисперсии , получаем

3)

Доказательство: Из теоремы , получаем

4) (т.к. )

5)

Доказательство:

.

Определение: - называется средним квадратичным отклонением случайной величины.