Численные методы / РГР ЧМ 16 вариант

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет бизнеса

Кафедра экономической информатики

Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Численные методы»

Вариант 16

Выполнила:

Факультет бизнеса

Группа: ФБИ-22

Преподаватель: проф. Соболева О.Н.

Новосибирск

2014

Задание №1

Запишите порядок выполняемых вами операций, оцените погрешности их результатов, вычислите и запишите искомое значение. Определите число верных знаков.

a=0,2456±0,0005;b=0,20078±0,00003;c=0,008±0,00013.

Решение

Приближенные значения исходных данных:

a=0,2456; b=0,20078; c=0,008.

Абсолютные погрешности исходных данных:

∆a=0,0005; ∆b=0,00003; ∆c=0,00013.

Относительные погрешности исходных данных:

δa=∆a/a=0,0005/0,02456=0,00203;

δb=∆b/b=0,00003/0,20078=0,00015;

δc=∆c/c=0,00013/0,008=0,01625.

Порядоквыполняемыхопераций:

1. a+b=0,44638; ∆(a+b)=∆a+∆b=0,00053; δ(a+b)=∆(a+b)/(a+b)=0,00119.

2. (a+b)*c=0,00357;∆((a+b)*c)=|a+b|*∆c+|c|*∆(a+b)=0,000058+0,0000042=

=0,000062; δ((a+b)*c)= ∆((a+b)*c)/ (a+b)*c=0,01744.

3. a-b=0,04482; ∆(a-b)=∆a+∆b=0,00053; δ(a-b)=∆(a-b)/(a-b)=0,011825.

4. (a+b)*с/(a-b)=0,07967; ∆ ((a+b)*с/(a-b))= ((a-b)*∆((a+b)*c)+(a+b)*с*

*∆(a-b))/ (a-b)^2=0,00233; δ(( a+b)*с/(a-b))= δ((a+b)*c)+ δ(a-b)= =0,01744+0,011825=0,02926.

5. =0,006348; ∆()=2**∆ ((a+b)*с/(a-b))=0,000372;

δ)=2*δ(( a+b)*с/(a-b))=0,058525.

6. 1+с=1,008; ∆(1+с)=∆с=0,00013; δ(1+с)=∆(1+с)/(1+с)=0,000129.

7. =0,00797; ∆f(x)~f’(x)∆x;∆=ln’(1+с)* ∆(1+с)=(1/(1+с))* ∆(1+с)=0,99206*0,00013=0,0000128; δ()= ∆/=0,01618.

8. *=0,00005059; ∆(*= ||*∆+ ||* ∆()=0,006348*0,0000128+0,00797*0,000372=0,000003046;

δ (*= (∆(*)/*=0,060211.

Определение числа верных знаков:

F=0,00005059; ∆F=0,000003046=0,3*10^-5;

9: 10^-8 0,5*10^-80,3*10^-5

5: 10^-7 0,5*10^-70,3*10^-5

0: 10^-6 0,5*10^-60,3*10^-5

5: 10^-5 0,5*10^-50,3*10^-5

Ответ: Число верных знаков m=1. F=0,00005059.

Задание №2

Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами.

a=0, 2456; b=0,20078; c=0,008,

Решение

Из предыдущего задания: , верные знаки: 5,0,5,9.

Тогда

;0,018944.

;

;

;

Ответ:

Задание №3

Решить СЛАУ методом Гаусса и с точностью до методом простой итерации.

;

Решение методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы и приведем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований:

Получена эквивалентная система:

.

Ответ:

Решение методом простой итерации

Матрица с диагональным преобладанием.

Выразим из первого, втрого и третьего уравнений соответственно:

;

Тогда матрица примет вид:

;

Норма значит, матрица сходится.

Зададим начальное приближение:

;

Выполним расчеты по формуле:

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

• *;

;

Ответ: .

Задание №4

Методом вращения с точностью вычислить собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы A.

Решение

Положим: . Выделим максимальный по модулю элемент над главной диагональю ;

Найдем угол поворота:

539,99408;

1,56894*0,5=0,78447;

0,70645; 0,70776;

Сформируем матрицу вращения:

1. Выполним первую итерацию:

Т.к. над главной диагональю максимальный по модулю элемент больше то переходим к следующей итерации:

1. Найдем угол поворота:

0,05111;

0,05107*0,5=0,02553; 

0,02553; 0,99967;

2. Сформируем матрицу вращения:

3. Выполним вторую итерацию:

Т.к. над главной диагональю максимальный по модулю элемент больше то переходим к следующей итерации:

1. Найдем угол поворота:

0,05118;

0,05114*0,5=0,02557;

0,02556; 0,99967;

1. Сформируем матрицу вращения:

2. Выполним третью итерацию:

Т.к. над главной диагональю максимальный по модулю элемент больше то переходим к следующей итерации:

1. Найдем угол поворота:

0,00120;

0,00120*0,5=0,0006;

0, 00059; 0,99999;

2. Сформируем матрицу вращения:

3. Выполним четвертую итерацию:

Т.к. над главной диагональю максимальный по модулю элемент равен то собственные числа:.

Найдем собственные вектора:

=

=

Ответ:; ; ;

Задание №5

Найти методом скалярных произведений с точностью максимальное по модулю собственное число матрицы А и соответствующий ему собственный вектор

Проверить, вычислив невязку границу спектра собственных чисел.

Решение

Начальное приближение: ;

; ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

<.

Максимальное по модулю собственное число: .

Невязка:

Найдем противоположную к границу спектра собственных чисел. Для этого построим матрицу

;

Произведем аналогичные вычисления, взяв начальное приближение .

; ;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

<.

Искомое собственное значение: .

Ответ:,

Задание №6

Методами простых итераций и Ньютона найти корни уравнения с точностью :.

Для отделения корней преобразуем уравнение к равносильному виду

и найдем точки пересечения графиков . Корень уравнения принадлежит отрезку [1,2].

Решение методом простых итераций

Корень уравнения принадлежит отрезку [1,2].Преобразуем уравнение к виду Для этого запишем его в форме

, следовательно, функцияне удовлетворяет условию сходимости, сделаем другое преобразование:

следовательно,функция удовлетворяет условию сходимости.

Зададим начальное приближение Выполним расчеты по формуле:

, p=0,1,2,… .Результаты расчетов:

p	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	1,4422	1,6025	1,5598	1,5714	1,5683	1,5691	1,5689	1,5689
	-	-0,5578	0,1603	-0,0427	0,0116	-0,0031	0,0009	-0,0002	0,0001

Ответ:.

Решение методом Ньютона

Корень уравнения принадлежит отрезку [1, 2].

Зададим начальное приближение В этой точке следовательно, Выполним расчеты по формуле:, p=0,1,2,… Результаты расчетов:

p	0	1	2	3	4
	2	1,6429	1,5716	1,5689	1,56895
	-	-0,3571	-0,0713	-0,0026	-0,000003

Ответ:.

Задание №7

Выписать интерполяционный многочлен Ньютона для узловых значений , заданных функцией Найти погрешность в точке = 0.1,

= -0.5,-0.4,-0.3,-0.1,0,0.2

Решение

Значения функции в точках = -0.5,-0.4,-0.3,-0.1,0,0.2

i	0	1	2	3	4	5
xi	-0,5	-0,4	-0,3	-0,1	0	0,2
f(xi)	-0,5236	-0,412	-0,305	-0,1	0	0,2014

Вычислим коэффициенты из формулы:

0,5236;

1,1208;

0,0026

-1,0239;

Аналогично .

Построим интерполяционный полином Ньютона по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

718098. Значение функции в этой же точке: 0,1001674. 0,028358.

Ответ:

=0,028358.

Задание №8

Вычислить решение методом Рунге-Кутты-Мерсона с точностью . Построить график решения в Matlab.

Головная программа

clc

% Метод Рунге-Кутты-Мерсона

options = odeset ('RelTol', 1e-5);

[T,Y] = ode45(@MyFunction,[0 6], 1, options);

plot(T,Y(:,1),'-')

Функция

functiondy = MyFunction(x,y)

dx = zeros(3,1);

k(1) = -4;

dy(1) = k(1)*y+sin(x);

График представлен на рисунке 1.

Рисунок 1