Численные методы / РГР ЧМ 10 вариант

Задание №6

Методами простых итераций и Ньютона найти корни уравнения с точностью : .

Решение методом простых итераций

Корень уравнения принадлежит отрезку [5; 5.3].

f(5) = .

f(5.3) = .

Преобразуем уравнение к виду Для этого сначала запишем его в форме

.

Возьмем производную:

Найдем решение в точках на концах отрезка:

следовательно, функция не удовлетворяет условию сходимости, сделаем другое преобразование:

Возьмем производную:

= 0.082666394 <1

= 0.080503594 <1

Т.к. значения производной в точках на концах отрезка по модулю меньше единицы, следовательно, функция удовлетворяет условию сходимости.

Зададим начальное приближение Выполним расчеты по формуле:

, p=0,1,2,… . Результаты расчетов в таблице 3:

Таблица 4.

P	0	1	2	3	4	5
x(p)	5.15	5.131367	5.132888	5.132764	5.132774	5.132773
|x(p+1)-x(p)|	-	0.018633	0.001522	0.000124	0.00001	0.000001

Ответ: 5,132773.

Решение методом Ньютона

Корень уравнения принадлежит отрезку [5; 5.3].

Зададим начальное приближение В этой точке следовательно, Выполним расчеты по формуле:

, p=0,1,2,…

Результаты расчетов в таблице 5.

Таблица 5.

P	0	1	2	3	4
x(p)	5.15	5.132852	5.132773	5.132773	5.132773
|x(p+1)-x(p)|	-	0.0171484	7.8929*10(-5)	1.625*10(-9)	0

Ответ: 5.132773.

Задание №7

Выписать интерполяционный многочлен Ньютона для узловых значений , заданных функцией Найти погрешность в точке = -0.4,

= 0,0.1,0.2,0.4,0.5,0.8

Решение

Таблица 6.

i	0	1	2	3	4	5
xi	0	0.1	0.2	0.4	0.5	0.8
f(xi)	0	0.001745	0.003491	0.006981	0.008727	0.013962

Вычислим коэффициенты по формулам:

0;

0.01745

0,01746

0.01745;

0.01746;

0,01745;

0.00005

0,0000333

0,0000333

0,000025

0.0002083

0,0001665

0,0000972

0,0007495

0,0003766

0.001407625

Построим интерполяционный многочлен Ньютона по формуле:

0.001464

Вычислим значение функции в точке : 6829228. Значение функции в этой же точке: 0,0697565. Погрешность: 0,001464.

Ответ:

погрешность: 0, 001464.

Задание №8

Вычислить решение методом Рунге-Кутты-Мерсона с точностью . Построить график решения в Matlab.

Текст программы:

function dy = vdp3000(x,y)

dy = zeros(1,1); % a column vector

dy=(0.6-(y^2))*cos(x)+0.2*y;

[X,Y] = ode45(@vdp3000,[0 1],0);

plot(X,Y(:,1),'-o')

График решения представлен на рисунке 1.

Рисунок 1. График решения уравнения y’

Новосибирск, 2013