Численные методы / РГР ЧМ 10 вариант

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет бизнеса

Кафедра экономической информатики

Расчетно-графическая работа

по дисциплине «Численные методы»

Вариант 10

Выполнила:

Суслина Д. В.

Группа:

ФБИ-11

Проверила:

Соболева О.Н.

Задание №1

Записать порядок выполняемых вами операций, оценить погрешность их результатов, вычислить и записать искомое значение. Определить число верных знаков.

.

Решение

1. Приближенные значения исходных данных:

Абсолютные погрешности исходных данных:

Найдем относительные погрешности исходных данных по формуле:

(1.1)

0,00095318; 0,568181818;

0,666666667.

2. Порядок выполняемых операций:

Выполняем действия в соответствии с формулами для определения погрешности результатов арифметических операций:

Погрешность суммы:

(1.2)

Пусть , тогда

Погрешность разности:

(1.3)

Пусть , тогда

Погрешность произведения:

(1.4)

Пусть , известны и , i=1,2

Погрешность частного:

(1.5)

Пусть , тогда

Из формул (1.2) – (1.5) выводятся формулы для соответствующих относительных погрешностей:

1. a*b = 0.52456*0.0044 = 0.0023081

|a|*a + |b|*b = 0.0013136; = 0.5691350

2. 1+с = 1,003

; 0,0019940108

3. (1+с)^(1/3) = 1,000999002

=((1+с)^(1/3))’* = = 0.000663347; = = 0,000662685

4. (a+b) = 0.52896

0.003; 0.005671506

5. Sin(c) = 0.002999996

= (sin(c))’* = 0.001999991; = = 0.666664667

6. L= = 0.002305761

= = 0.000274535;

= = 0,569797683

7. D=L*(a+b)=0.001219655

= |L|*L + |a+b|*(a+b) = 0.000122135; = = 0.575469189

8. F=D*sin(c) = 0.00000365

= 1.242133856

= F* = 0.000004545

3. Определение числа верных знаков:

Пусть А – точное число, тогда а – приближенное число.

Определим веерные знаки с помощью формулы:

m – старший десятичный разряд числа.

.

Верные знаки: 3.

Ответ: Число верных знаков n=1. .

Задание №2

Выяснить погрешность задания исходных данных, необходимую для получения результата с m верными значащими цифрами.

; m = 4

Решение

Из предыдущего задания: , при m = 4 верные знаки: 3;6;5;9.

Тогда

Для определения числа верных знаков воспользуемся определением и оценкой для абсолютной погрешности функции.

(1.6)

= 0.00001389

= 0.000831582

= 0.001218434

= = = 0.000017962

= 0.000000151

= 0.000000103

Ответ:

Задание №3

Решить СЛАУ методом Гаусса и с точностью до методом простой итерации.

;

Решение методом Гаусса.

1. Запишем систему в виде расширенной матрицы и приведем матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований:

=> => => => => =>

По матрице А составим уравнение:

=

Отсюда:

= -1,26087;

-0.52174

Ответ: -0.52174, _, -1,26087.

Решение методом простой итерации

1. Исходная матрица имеет диагональное преобладание:

=

2. Выразим из первого, втрого и третьего уравнений соответственно:

;

Тогда матрица примет вид:

;

3. Норма значит матрица сходится.

4. Зададим начальное приближение:

;

5. Выполним расчеты по формуле:

*; ;

*; ;

Результаты дальнейших итераций занесем в таблицу (Таблица 1).

Таблица 1.

p
3	-0.443	1.366325	-1.3952	0.476879
4	-0.5813	1.377301	-1.3047	0.138304
5	-0.55506	1.285522	-1.26268	0.091779
6	-0.51091	1.28814	-1.24105	0.044153
7	-0.50463	1.30481	-1.25649	0.016670
8	-0.51523	1.311805	-1.26406	0.010594
9	-0.52003	1.308401	-1.26287	0.004807
10	-0.51852	1.3057	-1.26016	0.002710
11	-0.51673	1.30578	-1.25977	0.001785
12	-0.51663	1.306575	-1.26039	0.000795

Ответ: 0,001792089615762 =

Задание №4

Методом вращения с точностью вычислить собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы A.

1. Положим: . Выделим максимальный по модулю элемент над главной диагональю ;

2. Найдем угол поворота:

117,8852162;

0,781156851;

0,7041014; 0,7100099;

3. Сформируем матрицу вращения:

4. Выполним первую итерацию:

Так как над главной диагональю максимальный по модулю элемент больше то переходим к следующей итерации:

1. Найдем угол поворота:

0,087838;

0,043807; 0,0437926; 0,9990406;

2. Сформируем матрицу вращения:

3. Выполним вторую итерацию:

Так как над главной диагональю максимальный по модулю элемент больше то переходим к следующей итерации:

1. Найдем угол поворота:

0,088388459;

0,044079677;

0,044065403; 0,999028648;

1. Сформируем матрицу вращения:

2. Выполним третью итерацию:

Так как над главной диагональю максимальный по модулю элемент больше то переходим к следующей итерации:

1. Найдем угол поворота:

0,006547767;

0,003273837;

0, 003273831; 0,999994641;

2. Сформируем матрицу вращения:

3. Выполним четвертую итерацию:

Так как над главной диагональю максимальный по модулю элемент больше то переходим к следующей итерации:

1. Найдем угол поворота:

0,000107037;

0,0000532;

0,0000532; 0,9999999;

2. Сформируем матрицу вращения:

3. Выполним пятую итерацию:

Максимальный по модулю элемент ательно, для решения задачи потребовалось 5 итераций.

Собственные числа:.

Найдем собственные вектора:

=

*

=

Ответ:; ; ;

Задание №5

Найти степенным методом с точностью максимальное по модулю собственное число матрицы А и соответствующий ему собственный вектор

Проверить вычислив невязку границу спектра собственных чисел.

Выбираем начальное приближение собственного вектора

=

Чтобы вычислить собственный вектор воспользуемся формулой:

=A

= A = * =

= = 4.643236

Выполним следующую итерацию:

= A = * =

= = -0.5857

Так как-0.5857 - 4.643236| = 5.228934 > , то процесс вычисления необходимо продолжить. Результаты вычислений в таблице 2.

Таблица 2.

P					|
3	-0.184062866	0.074144931	-0.125555724	-0.69211	0.024792
4	0.122828867	0.060833369	0.055872402	-0.66732	0.024792
5	-0.102758597	0.026673858	-0.008104621	-08366	0.16928
6	0.092231629	0.026284537	-0.028478723	-0.89756	0.060957
7	0.100509642	0.006522696	0.060906891	-1.16207	0.072313
8	0.116798779	-0.146345708	0.1870506936	-1.27819	0.025212
9	-0.146345708	-0.004165796	0.132366326	-1.25297	0.090908
10	0.187056936	0.014697753	-0.17926064	-1.27819	0.025212
11	-0.243620113	-0.013242285	0.238979028	-1.30238	0.024199
12	0.318686104	0.021000489	-0.31638884	-1.30813	0.005742
13	-0.418594141	-0.025291861	0.417570529	-1.3135	0.005373
14	0.550314029	0.034676093	-0.550336963	-1.31467	0.001172
15	-0.72411246	-0.044740819	0.724854609	-1.31582	0.001145
16	.0952967855	0.05943223	-0.954437696	-1.31605	0.000233
17	-1.254383535	-0.077887577	1.256571629	-1.31629	0.000242
18	1.651191757	0.102739238	-1.65429516	-1.31634	0.000046

Невязка: -1, 31634)*;

Максимальное по модулю собственное число: -.

Найдем противоположную границу спектра собственных чисел. Для этого построим матрицу

;

Произведем аналогичные вычисления, взяв начальное приближение =

Таблица 3.

P					|
1	0,467376	0,719866	0,5111513	1,799665	1,799565
2	0,283469	1,356319	0,3670958	1,884127	0,084462
3	0,102447	2,600585	0,2636416	1,917385	0,033258
4	-0,122408	5,019643	0,1893473	1,930197	0,012813
5	-0,467698	9,713087	0,1359982	1,935015	0,004818
6	-1,0718675	18,81241	0,0976978	1,936811	0,001795
7	-2,1960188	36,44862	0,0702175	1,937478	0,000667
8	-4,3409752	70,6274	0,0505323	1,937725	0,000247
9	-8,4735614	136,8629	0,0364926	1,937816	0,000092

Искомое собственное значение: + 1,937816= 0,621476

Ответ: ,