Розділ 8. Дискретні випадкові величини. Числові характеристики дискретних випадкових величин

Дискретна випадкова величина. Нехай (, , P) — ймовірнісний про­стір. Дискретною випадковою величиною називається функція (w) на , яка набуває скінченне або зліченне число значень x₁, x₂..., x_n, ... і є вимірною відносно -алгебри .

Розподіл дискретної випадкової величини. Нехай (w) — дискретна випадкова величина, яка набуває значення x₁, ..., x _i,.... Набір чисел

P{w: (w)=x_i}=p_i (i=l, 2,....) називають розподілом випадкової величини .

p_i 0,

Часто розподіл випадкової величини подають у вигляді таблиці, в якій перераховуються значення випадкової величини разом з відпо­відними ймовірностями:

Значення	x1	…	xi	…
Ймовірність	p1	…	pi	…

Функція розподілу випадкової величини (w) визначається рівністю:

P{w: (w)<x}= .

Сумісний розподіл випадкових величин. Нехай (w) — дискретна величина, що набуває значень x₁, x₂, …, x_i, …, (w) — дискретна величина, що набуває значень y₁, y₂, …, y_j, …. Набір чисел

називається сумісним розподілом випадкових величин  та . Справджуються такі твердження:

а)

б) де {р_i} — розподіл (w), {q_j} — розподіл (w).

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини  та  нази­ваються незалежними, якщо для будь-яких i та j

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай (w) — дискретна випадкова величина, яка набуває значень х_i, з імовірностями p_i (і = 1, 2,...). Припустимо, що ряд < +∞ збігається. Тоді математич­ним сподіванням випадкової величини (w) називається сума ряду .

Властивості математичного сподівання:

1. MC=C, де C — константа.

2. Якщо 0, то M0.

3. M(C)= CM.

4. M(C)= MC.

5. M()=M M.

6. Якщо  та  — незалежні випадкові величини, то M()=M M.

7. M()=

Дисперсія випадкової величини (w) визначається рівністю

середньоквадратичне відхилення випадкової величини, або ризик.

Властивості дисперсії:

1. D=0  =C – константа.

2. D0.

3. D(C)=C²D.

4. D(C)=D.

5. Якщо  та  незалежні випадкові величини, то D()=D+D.

Коефіцієнт коваріації випадкових величин cov(, ) = M(–M)(–M).

Коефіцієнт кореляції. Коефіцієнтом кореляції випадко­вих величин називається

Справджуються такі твердження:

а) || 1;

б) якщо  та  незалежні, то (, ) = 0;

в) якщо || = 1, то з імовірністю одиниця =a+b, де a і b — деякі сталі, a0.

Приклад розв’язання задачі

Задача 1. Випадкова величина  має розподіл:

xi	-1	0	1	2
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової ве­личини  = 2^.

Розв’язок. Будуємо розподіл випадкової величини :

yi	0,5	1	2	4
рі	0,2	0,1	0,3	0,4

Математичне сподівання M+20,3+40,4=2,4.