Розділ 7. Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Повна група подій. Випадкові події H₁, …, H_n (H_i, i = 1,…n) утво­рюють повну групу подій, якщо:

1) H_i — попарно несумісні ( );

2)

Формула повної ймовірності. Якщо H₁, …, H_n — повна група подій і P(H_i)>0 (i= 1,…,n), то для будь-якої події A (A) виконується рівність:

Формула повної ймовірності справджується і для зліченної кількості подій.

Формула Байєса. Якщо H₁, …, H_n — повна група подій, P(H_i)>0 (i = 1,…,n), а A — довільна випадкова подія (A), з P(A)>0, то

Приклад розв’язання задачі

Задача 1. Серед N екзаменаційних білетів є n «щасливих». Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більша ймовірність узяти «щасливий» білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?

Розв’язок. Нехай подія A — перший візьме щасливий білет, подія B — другий візьме щасливий білет. H₁ — перший узяв щасливий білет H₂ — перший узяв нещасливий білет . За формулою повної ймовірності:

Тобто

Задачі

1. Є два однакових ящики з кулями. У першому ящику 2 білих та 1 чорна куля, у другому — 1 біла та 4 чорних кулі. Навмання вибирають один ящик і виймають з нього кулю. Яка ймовірність, що витягнута куля буде білою?

2. На малюнку 7.1 зображено схему доріг. Туристи вийшли з пункту O, вибираючи навмання одну дорогу з усіх можливих. Яка ймовірність того, що вони потраплять у пункт A?

3. У двох урнах знаходиться відповідно n₁ і n₂ куль, із яких білих куль m₁ і m₂. З першої урни переклали в другу урну одну кулю, колір якої невідомий. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

4. В урні n куль. Усі можливі припущення про число білих куль в урні рівноможливі. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

5. В урні знаходиться одна куля, про яку відомо, що вона або біла, або чорна. В урну поклали білу кулю, а потім після ретельного перемішування взяли навмання одну кулю, яка виявилась білою. Яка ймовірність того, що після цього візьмуть з урни білу кулю? (Льюис Кэрролл. История с узелками.—М. : Мир, 1973).

6. В урну, яка містить n куль, поклали білу кулю. Яка ймовірність того, що взята з урни куля буде біла, якщо всі припущення про початковий склад куль в урні рівноможливі?

7. У кожній з n урн m білих і k чорних куль. З першої урни взяли одну кулю і переклали в другу. З другої урни взяли одну кулю і переклали в третю і т. д. Обчислити ймовірність того, що з останньої урни буде взято білу кулю.

8. Урна містить n куль. Усі припущення про число білих куль в урні однаково ймовірні. Навмання вийнята з урни куля виявилась білою. Обчислити ймовірності всіх припущень про склад куль в урні. Яке припущення найбільш імовірне?

9. З урни, яка містить n куль невідомого кольору, взяли одну кулю, яка виявилась білою. Після цього знову виймають кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла? (Усі припущення про початковий склад куль в урні однаково ймовірні).

10. Кожна з k₁ урн містить m₁ білих і n₁ чорних куль, а кожна з k₂ урн містить m₂ білих і n₂ чорних куль. Із навмання взятої урни вийняли кулю, яка виявилася білою. Яка ймовірність того, що кулю взято з першої групи урн?

11. Стрілець A влучає в мішень з імовірністю p₁=0,6, стрілець B — з імовірністю p₂ = 0,5, а стрілець C — з імовірністю p₃=0,4. Стрільці зробили залп по мішені. Відомо, що є два влучення. Що більш імовірно: влучив C в мішень чи ні?

12. Три мисливці одночасно зробили по одному пострілу у ведмедя. Ведмедя вбито однією кулею. Яка ймовірність того, що ведмедя вбито першим, другим або третім мисливцем, якщо ймовірності влучення для них дорівнюють відповідно p₁ = 0,2, p₂ = 0,4, p₃ = 0,6?

13. З урни, яка містить m білих (m>3) і n чорних куль, загублено одну кулю. Для того щоб визначити склад куль в урні, з урни взяли дві кулі, які виявилися білими. Обчислити ймовірність того, що загублена куля біла?

14. 3 урни, яка містить 3 білих та 2 чорних кулі, перекладено дві кулі до урни, яка містить 4 білих та 4 чорних кулі. Яка ймовірність того, що з другої урни після такого перекладання буде взято білу кулю?

15. Деталі виробляються на двох заводах. Обсяг продукції другого заводу в n разів перевищує обсяг продукції першого заводу. Частка браку на першому заводі — p₁, на другому — p₂. Навмання взята деталь виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що її випущено другим заводом?

16. Два стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучення першого 0,8, другого — 0,4. Відомо, що є одне влучення. Знайти ймовірність того, що у мішень влучив перший стрілець.

17. На фабриці виготовляють гвинти. Перша машина виготовляє 25%, друга — 35%, третя — 40% усіх виробів. Частка браку відповідно 5, 4 і 2%.

а) Яка ймовірність того, що випадково вибраний гвинт бракований?

б) Випадково вибраний гвинт виявився бракованим. Яка ймовірність того, що його зроблено першою, другою, третьою машинами?