Приклад розв’язання задачі

Задача. Нехай P(A)>0 та Довести, що A та B незалежні.

Розв’язок. Оскільки та то тобто а звідси

Задачі

1. Підкидають два гральних кубики. Яка ймовірність того, що випаде принаймні одна трійка, якщо відомо, що сума очок дорівнює 7?

2. Підкидають три гральних кубики. Яка ймовірність того, що принаймні один раз випаде шістка, якщо на всіх трьох кубиках випали різні грані?

3. З урни, в якій лежать m білих та n чорних куль, бе­руть послідовно дві кулі. Відомо, що перша куля біла. Яка ймовірність того, що друга куля також виявиться білою?

4. Відомо, що при підкиданні 10 гральних кубиків ви­пала принаймні одна одиниця. Яка ймовірність того, що випаде дві або більше одиниці?

5. Відомо, що 5% чоловіків і 0,25% усіх жінок — дальтоніки. Навмання обрана особа — дальтонік. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати кількість чолові­ків і жінок однаковою).

6. Довести, що коли A і B — несумісні і то

7. Дано: Обчислити Р(A).

8. Нехай P (B)>0 і виконується рівність Що можна сказати про події A і B?

9. Події A і B — несумісні, і P(B)>0. Обчислити P(A /B).

10. Довести, що якщо A й B — незалежні, то A й B, A й B, A й B — теж незалежні.

11. Події A та B₁ й A та B₂ — незалежні, причому B₁ та B₂ — несумісні. Довести, що події A та B₁ B₂ — незалежні.

12. Якщо події A, B, C — незалежні у сукупності, то події A та BC, а також A й B/C — незалежні. Довести це.

13. Нехай A та B, A та C— незалежні й BC. Тоді події A та B \C — незалежні. Довести це.

14. Кинуто послідовно три монети. Визначити, залежні чи незалежні події: A={випав герб на першій монеті}, B ={випала хоча б одна решка}.

15. Кинуто монету і гральний кубик. Визначити залежні чи незалежні події: A = {випав герб}, B = {випало парне число очок}.

16. Кинуто два гральних кубики. Розглянемо випадкові події: A={на першому кубику випала парна кількість очок}, B={на другому кубику випала непарна кількість очок}, C={сума очок на кубиках непарна}. Довести, що події A, B, C попарно незалежні, але не є незалежними у сукупності.

17. Довести, що якщо A і B незалежні події і AB, то P(A)=0 або P(B)=1.

18. Довести, що якщо подія A не залежить сама від се­бе, то P(A)=0 або P(A)=1.

19. Два мисливці влучають у ціль з імовірностями 0,7 та 0,8, відповідно. Кожен з них робить один постріл. Яка ймовірність того, що: а) обидва влучать? б) жоден не влучить? в) хоча б один влучить? г) лише один влучить у ціль?

20. Два гравці по черзі підкидають монету. Виграє той, у кого першим випаде герб. Знайти ймовірність виграшу для кожного з гравців.

21. В урні n білих та m чорних куль. Два гравці по черзі дістають кулі з урни, повертаючи кожного разу взя­ту кулю в урну. Виграє той, хто першим дістане білу кулю. Знайти ймовірності виграшу для кожного гравця.

22. Нехай A₁, … A _n — випадкові події. Довести формулу:

23. У компанії працює 200 службовців. Розподіл їх за віком, освітою та строком роботи в компанії наведенио в таблиці.

Вік	Менше 5 років у компанії		Більше 5 років у компанії
	Вища освіта	Середня освіта	Вища освіта	Середня освіта
30	40	5	50	5
> 30	50	25	15	10

Навмання вибирається один службовець.

а) Яка ймовірність того, що вибрана особа має вищу освіту?

б) Якщо вибрана особа працює в компанії більше 5 років, яка ймовірність того, що її вік більше 30?

в) Нехай A та B такі події:

A = {вибрана особа має вищу освіту},

B = {вибрана особа старша 30 років}.

Чи будуть події A та B незалежними?

24. Фірма, що ремонтує побутову електротехніку, проаналізувавши причини поломок, зробила висновок про такий процентний розподіл кількості поломок за типами їх:

	Тип поломки
	Електричний	Механічний	Зовнішній
Під час гарантійного ремонту	10%	25%	17%
Після гарантійного строку	15%	30%	3%

Нехай A та B такі події:

A = {навмання вибраний прилад має електричний тип поломки},

B = {навмання вибраний прилад зламався після гарантійного строку}.

Чи будуть події A та B незалежними?