Розділ 5. Аксіоми теорії ймовірностей

Нехай  — простір елементарних подій,  є -алгебра підмножин  (-алгебра випадкових подій), тобто

АA1) ;

АA2) якщо A, то A;

АA3) якщо А_i (i=1, 2,...), то .

Припустимо, що кожній випадковій події A поставлено у відповідність число , що задовольняє умови:

P1) P(A)0 для кожного A;

P2) P()=l;

P3) якщо послідовність {A_n} випадкових подій така, що А_iA_j= при ij, то

Твердження A1, A2 A3, P1, P2, P3 складають систему аксіом тео­рії ймовірностей. Вимірний простір (, , P) — простір  з мірою P(*) — називають ймовірнісним простором.

Теорема додавання ймовірностей.

Приклад розв’язання задачі

Задача 1. Нехай P(A)0,8; P(B)0,8. Довести, що P(AB)0,6.

Розв’язок. P(AB)=P(A)+P(B)–P(AB)0,8+0,8–1=0,6, оскільки P(AB)1.

Задачі

1. Відомо ймовірності подій A, B, AB. Знайти ймовірності подій:

а) б) в) г) ; д) е)

2. Нехай A і B — випадкові події, P₀ — ймовірність того, що не відбудеться жодна з цих подій, P₁ — ймовір­ність того, що відбудеться одна і тільки одна подія, P₂ — ймовірність того, що відбудуться обидві події. Виразити P₀, P₁, P₂ через P(A), P(B),

3. Двічі підкидають монету. Описати: а) простір елемен­тарних подій; б) події: A — при першому підкидан­ні випав герб; B — при другому підкиданні випав герб; в) обчислити P(A), P(B), P(AB), P(B |A).

4. Три рази підкидають монету. Описати: а) простір елементарних подій; б) події A — двічі випав герб, B — принаймні один раз випав герб; в) обчислити P(AB), P(B) і P(B \A).

5. Нехай А₁, А₂, …, А_n — випадкові події. Довести, що

а)

б)

6. Д овести, що якщо А₁, А₂, …, А_n:

7. Довести, що якщо для будь-яких n подій то:

8. У одному ящику 5 білих та 10 чорних куль, у іншому — 10 білих та 5 чорних куль. Знайти ймовірність того, що хоча б з одного ящика буде витягнуто одну білу кулю, якщо з кожного ящика витягнуто по кулі.

9. У ящику 10 червоних та 6 блакитних куль. Навмання витягають дві кулі. Яка ймовірність того, що кулі будуть одного кольору?

10. Знайти ймовірність того, що навмання вибране двузначне число є кратним 2, або 5, або тому й іншому одночасно.

11. Студент прийшов на залік, знаючи відповідь на 24 запитання з 30. Яка ймовірність скласти залік, якщо після неправильної відповіді на запитання викладач задає ще одне запитання?

Розділ 6. Умовні ймовірності.

Умовна ймовірність. Нехай (, , P) — ймовірнісний простір і P(B)>0, B. Умовною ймовірністю події A (A) при умові, що відбулася подія ВB, називається величина

Формула множення ймовірностей. Якщо P(B)>0, то

Незалежні випадкові події. Випадкові події A і B (A, B) називаються незалежними, якщо

Незалежні в сукупності випадкові події. Випадкові події A₁, …, A_n (А_i, i = 1,…, n) називаються незалежними в сукупності, якщо

для будь-яких k = 2, …, n і 1i₁<i₂<…<i_kn. Якщо ця рівність виконується при k=2, то події A₁, … А_n називаються попарно незалежними.