Розділ 4. Геометричні ймовірності.

Суть геометричної ймовірності така. Нехай в деякій обмеженій множині  n-вимірного евклідового простору, що має міру Лебега mes(), навмання вибирають точку. Під висловом “точка, взята навмання” або “точка, навмання кинута у деяку множину”, розуміється, що ймовірність P(A) того, що точку буде взято з множини A  , дорівнює:

Приклад розв’язання задачі

Задача. На відрізку довжини l навмання взято дві точки. Яка ймовірність того, що відстань між ними не перевищує kl, де 0<k<1?

Розв’язок. Нехай координати точок x та y. Очевидно, що . Таким чином, m() = ll=l². Тоді A={(x,y): 0  x  l, 0y l, |x–y|kl}. Звідси x–klyx+kl, й mes(A)=l²–(l–kl)². Таким чином,

Задачі

1. На паркетну підлогу навмання кидають монету ді­аметром d. Паркет має форму квадратів із стороною a (a > d). Яка ймовірність того, що монета не перетне жодної зі сторін квадратів паркету?

2. У круг радіуса R вписано правильний n-кутник. У круг кидають навмання точку. Яка ймовірність того, що точка попаде всередину n-кутника?

3. Яка ймовірність того, що з трьох навмання взятих відрізків довжини не більше можна побудувати три­кутник?

4. На площині проведено паралельні прямі, відстань між якими 2а. На площину навмання кидають круг ра­діусом r (r<a). Яка ймовірність того, що круг не пе­ретне жодної з прямих?

5. На площині проведено паралельні прямі, відстані між якими дорівнюють почергово 1,5 см та 8 см. На пло­щину кидають навмання круг радіусом 2,5 см. Яка ймо­вірність того, що цей круг не перетне жодної з прямих ліній?

6. На колі одиничного радіуса з центром у початку координат навмання взято точку. Яка ймовірність того, що проекція точки на діаметр знаходиться від цент­ра на відстані, що не перевищує r (r<1)?

7. На колі радіусом R навмання взято дві точки. Яка ймовірність того, що відстань між ними не перевищує r(r2R)?

8. У коло радіусом R навмання кидають точку. Яка ймовірність того, що відстань від цієї точки до центра кола не перевищує r?

9. На колі радіусом R навмання взято три точки A, B, C. Яка ймовірність того, що трикутник гост­рокутний?

10. Стержень довжиною l навмання розламали на три частини. Яка ймовірність того, що з одержаних час­тин можна утворити трикутник?

11. Стержень довжиною l навмання розламали на дві час­тини. Яка ймовірність того, що довжина меншої частини не перевищує l/3?

12. (Задача Бюфона). На площині проведено паралельні прямі, відстань між якими дорівнює 2а. На цій площині кидають навмання голку довжи­ною 2l, la. Яка ймовірність того, що вона перетне одну з прямих?

13. Навмання взято два додатних числа, кожне з яких не перевищує 1. Знайти ймовірність того, що сума їх не перевищує 1, а добуток не перевищує 2/9.

14. На відрізку [–1, 2] навмання взяті 2 числа. Яка ймовірність того, що їх сума більша 1, а добуток менший 1?

15. Навмання взято два додатні числа x та y, кожне з яких не перевищує 2. Знайти ймовірність того, що добуток xy буде більше 1, а –– не більше 2.

16. На відрізку [P, Q] довжини l навмання вибрано дві точки A та B. Знайти ймовірність того, що точка A буде ближче до B, ніж до P.

17. Всередині квадрата з вершинами {(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)} навмання вибирають точку M(x,y). Знайти ймовірність подій: a) A={(x,y): max(x ,y)<a, a>0}; б) B={(x, y): x²+y²a², a>0}; в) C={корені рівняння t²+xt+y=0 дійсні}.