Розділ 4

4.1.

4.2.

4.3. ,

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12. Нехай — відстань від середини голки до найближчої паралелі, — кут, який утворює голка з цією паралеллю. Тоді

і

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17. a) при і 1, при

б) при при і 1, при

в)

Розділ 5

5.1. а) б) – в) г)

д) е)

5.2.

5.3. а) б)

в)

5.4. в)

5.5. а) де Події несумісні і Тоді

5.6. При

Далі скористатися методом математичної індукції.

5.7. Використати нерівність задачі 5.6.

5.8.

5.9.

5.10. 0,6

5.11.

Розділ 6

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8. Незалежні.

6.9. 0.

6.10. Доведемо, що і незалежні.

6.11.

6.12.

Доведемо незалежність і

6.13.

6.14.

6.15. Незалежні.

6.16.

Аналогічно, попарно незалежними є події A і C, B і C.

Але

6.17. Оскільки і то Тоді або

6.18. Тоді

Отже , або

6.19. a) 0,56; б)0,06; в) 0,94; г) 0,38.

6.20. Імовірність виграшу першого гравця а другого —

6.21. та

6.22. Використати метод математичної індукції.

6.23. а) б)

в) Тобто події A та B – залежні.

6.24.

A і B – залежні події.

Розділ 7

7.1.

7.2.

7.3. Подія — поява білої кулі з другої урни. Можуть бути два припущення: — переклали білу кулю, — переклали не білу кулю. Очевидно, Події утворюють повну групу подій і за формулою повної ймовірності

7.4. Нехай подія — білих куль в урні, Тоді — поява білої кулі з урни. Отже,

7.5. Нехай подія — в урні біла куля, — чорна. A — перша витягнута куля біла, B — друга витягнута куля біла. Тоді

7.6.

7.7. Нехай подія — з i-ї урни переклали білу кулю.

Тоді

і т. д.

Тобто

7.8. Див. позначення задачі 7.4.

і

7.9. Див. позначення задачі 7.4. Нехай подія A — перша витягнута куля біла, B — друга витягнута куля біла. Тоді

7.10. Використати формулу Байєса. Введемо такі події: A — витягнута куля біла, — вона з першої групи урн, — з другої групи урн.

7.11. Нехай D — випадкова подія, яка полягає в тому, що є два влучення. Тоді

7.12. Введемо такі випадкові події: — ведмедя вбив i-й мисливець, i=1, 2, 3; B — ведмедя вбито однією кулею.

Тоді

7.13. Випадкові події: — загублено білу кулю, — чорну кулю, A — витягнуто дві білі кулі.

7.14. Випадкові події: A — витягнуто білу кулю з другої урни; — перекладено 2 білі кулі з першої урни, — білу та чорну, — дві чорні.

7.15.

7.16.

7.17. а) 0,0345; б)

Розділ 8

8.1.

	0	1	2
P

8.2.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P

8.3.

,

, ,

8.4.

8.5. а) не розподіл, бо

б) розподіл, бо

в) розподіл, бо

8.6.

8.7.

	0	1
P

8.8.

	3	9	15
P	0,4	0,1	0,5

8.9.

		1
P	0,3	0,7

8.10.

	1	2	5			0	1	2
P	0,3	0,5	0,2		P	0,3	0,5	0,2

8.11. 9; 40.

8.12. 2.

8.13. Нехай

При цьому використовується, що

8.14. Нехай — прибуток у банку A, а — у банку B.

Тоді

8.15.

8.16. Знайти сумісний розподіл і . Показати, що для будь-яких

8.17.

8.18.Ні. Розподіл має вигляд

Отже,

8.19. Нехай

Тоді

Отже, і

8.20. Скористатися задачею 8.19.

8.21.

8.22.