Розділ 2. Простір елементарних подій, випадкові події та операції над ними

У теорії ймовірностей розглядаються стохастичні експерименти, які можна повторити будь-яку кількість раз, але результати яких не можна напевне передбачити. З кожним стохастичним експериментом пов'язують простір елементарних подій  — сукупність можливих наслідків експерименту. Будь-яка підмножина A простору елементарних наслідків  називається випадковою подією. При цьому  — достовірна подія, тобто подія, яка відбувається при будь-якому наслідку стохастичного експерименту. Випадкові події, пов'язані з даним стохастичним експериментом, — це підмножини в просторі елементарних подій .

Основні операції над подіями:

1. Доповнення: — подія, яка полягає в тому, що A не відбудеться.  = —неможлива подія.

2. Об’єднання подій: A В = — подія, яка полягає в тому, що відбудеться принаймні одна з подій A або В.

3. Перетин (переріз) подій: AВ= — подія, яка полягає в тому, що відбудеться і подія A, і подія В.

4. Різниця подій: A\ В = —подія, яка полягає в тому, що відбудеться подія A і не відбудеться подія В.

5. Правило де Моргана: Приклад розв’язання задачі

Задача 1. Монету підкидають двічі. Описати простір елемен­тарних подій. Описати події: A — принаймні один раз випаде герб, В — при другому підкиданні випаде герб, AВ , AВ , A\В .

Розв’язок. Якщо Г — випадання герба, Р — випадання решки, то ймовірнісний простір ={ГГ, ГР, РГ, РР}; подія A={ГГ, ГР, РГ}, подія B={ГГ, РГ}. Оскільки AB, то AВ = {ГГ, ГР, РГ}, AВ =B={ГГ, РГ}, A\B={ГР}.

Задачі

1. Гральний кубик підкидають двічі. Описати простір елементарних подій. Описати події: A — сума очок на двох кубиках дорівнює 8; В — принаймні один раз випаде 6.

2. Підкидають монету і гральний кубик. Описати простір елементарних подій.

3. Підкидають монету доти, доки не випаде герб. Описати простір елементарних подій.

4. Побудувати множину елементарних подій у та­кому експерименті: кидають монету і фіксують, чи ви­пав герб; кидання триває доти, доки герб не випаде двічі.

5. Нехай експеримент полягає у вимірюванні двох величин, які набувають значення з відрізка [0,1]. Описати простір елементарних подій.

6. Побудувати множину елементарних подій для екс­перименту, в якому вимірюються n величин ₁, ₂, …, _n, кожна з яких може набувати довільних дійсних зна­чень.

7. З партії, що містить N виробів, серед яких є n бракованих, взято m виробів. Описати простір елемен­тарних подій. Описати подію A: серед узятих виробів l — бракованих (n < N, l  m).

8. Побудувати множину елементарних подій в експерименті, що полягає у виборі з урни, в якій лежать m білих і n чорних куль, k куль, якщо k<n+m. Чому дорівнює число елементарних подій? Розв'язати задачу при умові, що кулі виймаються послідовно по одній.

9. Перевіряється партія готових виробів за двома ознаками: розмір і вага. Вироби, в яких розмір або вага менші стандарту, бракуються; вироби, в яких і розмір, і вага більші, ніж стандартні, повертаються на переробку; придатні вироби йдуть споживачеві. Як побудувати множину елементарних подій у разі, якщо перевіряється партія товару з n виробів? Яка загальна кількість елементарних подій?

10. Які прості вирази відповідають подіям:

а) ?

б) ?

в) .

2.11. Довести рівності:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .